31. Побудуйте просту економіко-математичну модель. Запишіть до неї двоїсту. Дайте економічну інтерпретацію двоїстих оцінок.

max F = –5x₁ + 2x₂;

Розв’язання. Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і в системі обмежень є нерівності, то вони мусять мати знак «». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

max F = –5x₁ + 2x₂;

Тепер за відповідними правилами складемо двоїсту задачу:

;

Економічна інтерпретація двоїстих оцінок.

Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х^*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним». Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові , тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від нуля.

У разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну сj, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю. Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції , то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .

Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, м2, люд./год, га тощо).

32. Економічна і математична постановка транспортної задачі.

Транспортна задача належить до типу розподільчих задач лінійного програмування. Економічний зміст таких задач може стосуватися різ­номанітних проблем, що переважно зовсім не пов’язано із перевезенням вантажів, як, наприклад, задачі оптимального розміщення виробництва, складів, оптимального призначення тощо.

Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників необхідно перевезти n споживачам. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного постачальника до кожного споживача. Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

Математична модель транспортної задачі. Позначимо через обсяг продукції, що перевозиться від постачальника до споживача . Тоді умови задачі зручно подати у вигляді такої таблиці:

Спож.		В1		В2	...		Вn
Постач.		b1		b2	...		bn
A1	а1	с11 x11	с12 x12		...	с1n x1n
A2	а2	с21 x21	с22 x22		…	с2n x2n
…	…	…	…		…	…
Am	аm	сm1 xm1	сm2 xm2		…	сmn xmn

Мають виконуватися такі умови:

1)сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті

2)сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му споживачеві, має дорівнювати його потребам:

3)сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною: