- •Принцип оптимальності
- •Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування
- •Принцип оптимальності
- •6. Що означає "правильне відтинання"?
- •7. Як розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю кожного виду продукцї?
- •8. Поясніть, що називається областю доступних планів..
- •9. Яка задача математичного програмування називається цілочисловою
- •10. Опишіть алгоритм методу Гоморі
- •11. Як звести задачу лінійного програмування до канонічної форми?
- •12. Як звести відкриту транспортну задачу на закриту?
- •13. Як виробник має змінити план виробництва продукції, щоб уникнути втрат, пов"язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції?
- •14. Як геометрично можна інтерпретувати розв"язок задачі цілочислового програмування?
- •15. Сформулюйте правила побудови двоїстих задач
- •16. Які задачі лінійного програмування можна розв’язати графічним методом
- •17. Сформулюйте умови оптимальності розв’язку задачі симплекс методом
- •18. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування розв’язку транспортної задачі
- •19. У чому сутність теорії двоїстості у лінійному програмуванні
- •20. Для розв’язування яких математичних задач застосовується симплекс метод?
- •21. Як вибрати спрямовуючий вектор-стовпець?
- •22. Що означає "виродження" опорного плану? Як його позбутися?
- •23. Поясніть геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування
- •24. Скільки змінних та обмежень має двоїста задача відповідно до прямої?
- •25. Суть алгоритму симплексного методу.
- •26. Сформулюйте третю теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
- •27. Назвіть методи розв'язув задач динамічного програмування
- •28. За яких умов задача лінійного програмування з необмеженою областю допустимих планів має розв"язок
- •29. Сформулюйте основні аналітичні властивості розв’язків задачі лінійного програмування.
- •30. Які ви знаете властивості опорних планів транспортної задачі?
- •31. Побудуйте просту економіко-математичну модель. Запишіть до неї двоїсту. Дайте економічну інтерпретацію двоїстих оцінок.
- •32. Економічна і математична постановка транспортної задачі.
- •33. Як впливає на оптимальний план введення нової змінної.
- •34. Як вибрати розв’язуваний елемент?
- •35. Чим відрізняється транспортна задача від загальної задачі лінійного програмування?
- •36. Які взаємоспряжені задачі називаються симетричними, а які – несиметричними7 Чим вони відрізняються?
- •37. Опишіть алгоритм методу гілок та меж.
- •38. Сформулюйте задачу динамічного програмування.
- •39. Як визначити статус ресурсів прямої задачі та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно змін запасів дефіцитних ресурсів?
- •40. Суть методу Жордана-Гаусса.
- •41. Назвіть умови оптимальності транспортної задачі.
- •42. Як визначити, що ресурс є дефіцитним (недефіцитним)?
- •43. Суть методу штучного базису.
- •43. Суть методу штучного базису.
- •44. Як впливає на оптимальний план введення додаткового обмеження?
- •45. Назвіть етапи алгоритму методу потенціалів.
- •46. Наведіть приклади економічних задач, що належать до класу задач динамічного програмування.
- •47. Які ви знаєте методи побудови опорного плану?
- •48. Який опорний план називається не виродженим?
- •49. Сформулюйте другу теорему двоїстості та її економічне тлумачення.
- •50. Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?
- •55. Як визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві?
- •56. Який план називається опорним?
- •57. Наведіть приклади економічних задач, що належать до цілочислових.
- •62. Як визначити план виробництва продукції та зміну доходу підприємства, якщо збільшити (зменшити) обсяг ресурсів?
- •63. Сформуйте другу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
26. Сформулюйте третю теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.
Теорема (третя теорема двоїстості).
Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами , або (1)
Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, м2, люд./год, га тощо).
Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .
27. Назвіть методи розв'язув задач динамічного програмування
Динамічне програмування являє собою математичний апарат, що дає змогу здійснювати планування багатокрокових керованих процесів, а також процесів, які розвиваються у часі.
Отже, динамічне програмування не є окремим методом розв’язування задач, а являє собою теорію, що поєднує ряд однотипних ідей та прийомів, які застосовуються для розв’язування досить різних за змістом задач.
До задач динамічного програмування належать такі, що пов’язані з оптимальним розподілом капіталовкладень, розподілом продукції між різними регіонами, визначенням найкоротшого шляху завезення товарів споживачам, задачі щодо заміни устаткування, оптимального управління запасами тощо. Економічні процеси можна уявити складеними з кількох етапів (кроків). На кожному з них здійснюється вплив на розвиток всього процесу. Тому у разі планування багатоетапних процесів прийняття рішень на кожному етапі має враховувати попередні зміни та бути підпорядкованим кінцевому результату. Динамічне програмування дає змогу прийняти ряд послідовних рішень, що забезпечує оптимальність розвитку процесу в цілому. З кожним етапом (кроком) задачі пов’язане прийняття певного рішення, так званого крокового управління що визначає як ефективність даного етапу, так і всього процесу в цілому. Отже для прийняття оптимального рішення на k-му кроці багатокрокового процесу потрібна оптимальність рішень на всіх його попередніх кроках, а сукупність усіх рішень дає оптимальний розв’язок задачі лише в тому разі, коли на кожному кроці приймається оптимальне рішення, що залежить від параметра етапу , визначеного на попередньому кроці.
Цей факт є основою методу динамічного програмування і є сутністю так званого принципу оптимальності Р. Белмана, який формулюється так:
Оптимальний розв’язок багатокрокової задачі має ту властивість, що яким би не був стан системи в результаті деякої кількості кроків, необхідно вибирати управління на найближчому кроці так, щоб воно разом з оптимальним управлінням на всіх наступних кроках приводило до максимального виграшу на всіх останніх кроках, включаючи даний.
Будь-яку багатокрокову задачу можна розв’язувати по-різному: або знаходити одразу всі елементи розв’язку на всіх кроках, або будувати оптимальне управління поступово, крок за кроком (на кожному етапі розрахунків оптимізуючи лише один крок). Як правило, другий спосіб оптимізації є значно простішим, ніж перший, особливо при значній кількості кроків. Оптимізація одного кроку є простішою порівняно з оптимізацією всього процесу, тому краще багато разів розв’язувати простіші задачі, ніж один раз — складну.