2.2.1 Стандартна форма запису рівнянь стану

Нехай відомо нормоване (a₀ = 1) диференціальне рівняння вхід - вихід, що встановлює зв'язок між виходом y(t) і входом u(t) дновимірної системи n-го порядку:

Визначимо рівняння стану, що відповідають диференціальному рівнянню (2.43). Оскільки знання початкових значень вихідний змінної і її похідних

)

повністю визначає майбутній рух системи, то змінні

можуть бути прийняті як змінні стану

Розв’язавши рівняння (2.43) щодо старшої похідної, маємо

Тоді з (2.44) і (2.45) одержуємо наступну систему диференціальних рівнянь першого порядку щодо змінних стану x₁(t), x₂(t),K, x_n(t) і алгебраїчне рівняння, що зв'язує вихід системи y(t) з відповідною змінною стану

Систему рівнянь (2.46) зручно записати у векторно-матричній формі в такий спосіб:

або

де згідно з (2.47) матриця стану A розмірності n´ n , матриця входу B розмірності n ´1 , матриця виходу C розмірності 1´ n і вектор стану x(t) розмірності n´1 дорівнюють:

Рівняння (2.46) називаються рівняннями стану в стандартній формі.

Приклад 2.5. Рівняння САК по каналу вхід-вихід має вигляд

Перетворити це рівняння в рівняння стану і вирішити їх.

Вирішення.

Перетворимо (2.50) до нормованого вигляду

Позначимо: x₁(t) = y(t); x₂(t) = y(t); x₃(t) = y(t) і перетворимо вихідне рівняння до системи вигляд у (2.46)

Тоді рівняння стану САУ набуде вигляду:

де

Вирішення системи (2.53) зручно виконати за допомогою програми Simulink, скориставшись методом зниження порядку похідних. Відповідна блок-схема наведена на рис. 2.14.

Рис. 2.14 – Блок-схема вирішення диференціального рівняння третього порядку за допомогою програми Simulink

Тут: три блоки Integrator здійснюють інтегрування відповідних вхід-них змінних із заданням від внутрішнього джерела internal їхніх початкових значень; чотири блоки Gain служать для задання зазначених на рис. коефіцієнтів рівняння; ручний перемикач Manual Switch здійснює вибір типу вхідного сигналу.

Відповідні графіки змінних стану при u(t) = 1(t) подані на рис. 2.15.

в)

Рис. 2.15 – Графіки змінних стану:

2.3 Структурні схеми сак

У ТАК при аналізі САК саме широке застосування одержали так звані структурні схеми. При цьому під структурною схемою САУ мається на увазі умовне графічне зображення математичної моделі системи у вигляді сукупності окремих ланок із вказівкою зв'язків між ними.

Ця схема, по суті, являє собою графічне зображення системи рівнянь, що описують поводження елементів і пристроїв САК.

Структурна схема може також розглядатися як схема проходження і перетворення сигналів у САК. Тому її іноді ще називають алгоритмічною схемою.

2.3.1 Позначення у структурних схемах

Розглянемо правила зображення елементів САК на структурних схемах.

Ланка позначається у вигляді прямокутника із вказівкою вхідних і вихідних величин.

Рис. 2.16 – Зображення ланок

Усередині прямокутника вказують передаточну функцію рис. 2.16,а. Допускається замість W(s) вказувати рівняння або характеристику ланки рис. 2.16, б. Позначення вхідних і вихідних величин записують у вигляді зображень або оригіналів залежно від позначення у прямокутнику. Допускається також ланки нумерувати, а їхні передаточні функції, рівняння або характеристики представляти поза схемою.

Ланцюг передачі сигналу зображується прямою лінією, на якій стрілкою вказують напрямок проходження сигналу, а також наводять літерне позначення цього сигналу.

Елемент порівняння зображують у вигляді, наведеному на рис. 2.17

Рис. 2.17 – Зображення елементів порівняння при реалізації функцій:

а) y= x₁ +x₂ ; б) y=x₁ -x₂