2.1.1.1 Стандартна форма запису диференціальних рівнянь сак

При дослідженні САК, особливо при порівнянні властивостей систем і їхніх елементів між собою, зручно подати рівняння в так званій стандартній формі. При цьому використовують наступні правила:

– вихідну величину і всі її похідні записують у лівій частині рівняння, а всі інші члени – у правій;

– коефіцієнт при вихідній величині шляхом тотожних перетворень ро-блять рівним одиниці;

– якщо в правій частині є похідні, то члени, що містять певну вихідну величину і її похідні, поєднують в одну групу, а коефіцієнт при цій величині виносять за дужки.

П риклад 2.1. Вихідне рівняння системи має вигляд

Уведемо позначення:

Тоді

Коефіцієнти T₀ , T₁ і T₂ мають розмірність часу, тому що

і називаються постійними часу. Їхні значення визначають швидкість і характер протікання перехідних процесів.

Коефіцієнти k ₁ і k₂ називаються коефіцієнтами передачі, мають розмірність і визначають взаємозв'язок змінних у сталих статичних режимах.

Якщо ж вихідне рівняння не містить якихось коефіцієнтів, наприклад, a₂ = 0 , то в стандартній формі одиниці повинен рівнятися коефіцієнт при похідній, що має найменший порядок. При цьому розмірність коефіцієнтів передачі буде мінятися, а їхні значення визначатимуть взаємозв'язок змінних у відповідних сталих динамічних режимах (наприклад, у режимі з постійною швидкістю зміни вихідної величини).

2.1.1.2 Операційний метод опису лінійних сак

У математиці під операційним вирахуванням мається на увазі розділ математичного аналізу, в якому розробляються методи вирішення лінійних диференціальних, різницевих і деяких типів інтегральних рівнянь. Операційне вирахування базується на ідеї заміни одних функцій на інші, одержуваних за певними правилами, наприклад, використовуючи перетворення Лапласа або перетворення Фур'є.

У ТАК саме широке застосування знайшов операційний метод опису, заснований на використанні інтегрального перетворення Лапласа (L- перетворення):

Це перетворення встановлює відповідність між функцією f(t) дійсної змінної t і функцією F(s) комплексної змінної s = a + jb. При цьому f(t) називають оригіналом, а F(s) - зображенням.

Достатніми умовами існування (2.5) є наступні вимоги:

- функція f(t) повинна бути однозначною і безперервною при всіх t≥0, безперервність може бути порушена тільки в окремих точках, що є точками розриву безперервності першого роду;

• функція f(t) = 0 для всіх t < 0;

• функція f(t) повинна мати обмежений порядок зростання, тобто

повинні бути такі два постійних числа M > 0 і c > 0 , при яких f(t) < Me^ct при t > 0.

2.1.1.2.1 Основні властивості перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа ставить у відповідність операціям над оригіналами деякі певні операції над зображеннями. У табл. 2.10 наведені основні співвідношення, використовувані при описі лінійних САК.

Таблиця 2.10

Застосування перетворення Лапласа при математичному описі САК обумовлюється також тим, що з його допомогою визначають так звану передаточну функцію, що є самою компактною формою опису властивостей САК або її складових елементів.

Нехай дане лінійне неоднорідне рівняння САК

Перетворимо це рівняння за Лапласом при нульових початкових умовах:

Скориставшись (2.6), можемо записати:

(2.7)

Аналіз виразу (2.7) показує, що співвідношення Y(s)/X(s) не залежить від вигляду вхідного впливу x(t), а характеризує тільки власні властивості САК. Це співвідношення і називається передаточною функцією та позначається W(s).

Таким чином, передатною функцією називається відношення вихідної величини до вхідного, перетворених за Лапласом при нульових початкових умовах.