§ 2. Квантовые числа

Волновые функции электрона ψ_nlm(r, θ, φ) определяются тремя целочисленными параметрами: n, l, m_e. Эти целые числа называются квантовыми числами:

n - главное квантовое число, оно, как мы знаем (см. (8.3)), определяет значение энергии E_n, n=1,2,3…;

l - азимутальное (орбитальное) квантовое число, оно определяет L - модуль момента импульса электрона.

При заданном n азимутальное квантовое число l может принимать следующие значения:

всего n значений.

Следовательно, из уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса электрона в атоме водорода квантуется и может принимать n значений. Так при n = 1 азимутальное квантовое число может принимать единственное значение l = 0. При n = 2 возможны значения l = 0,1.

m_l - это магнитное квантовое число.

Из уравнения Шредингера также следует, что проекция момента импульса L на выбранное направление в пространстве, скажем, ось z, также квантуется. Величина этой проекции, L_z, связана с квантовым числом m_l.

При заданном l магнитное квантовое число m_l может принимать следующие значения:

всего 2l + 1 значений.

Значит, при заданной главным квантовым числом n энергии E_n возможны n значений азимутального квантового числа (от l = 0 до n - 1) и 2l + 1 значений магнитного квантового числа m_l.. Таким образом, при заданном n число различных волновых функций ψ_nlm, отвечающих заданной энергии E_n, будет равно

Говорят, что  уровень энергии E_n будет вырожден  с кратностью n².

В атомной физике применяют заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса:

l = 0 -      s-состояние;

l = 1 -      p-состояние;

l = 2 -      d-состояние;

l = 3 -      f-состояние;

затем идут g, h и дальше в алфавитном порядке.

Значение главного квантового числа n указывают перед буквой, являющейся условным обозначением азимутального квантового числа l.

Например, 1s-состояние - это состояние с главным квантовым числом n = 1 и азимутальным квантовым числом l = 0 (на это указывает буква s).

§ 3. Спектры атома водорода в теории Шредингера

Появление в шредингеровской теории атома водорода, в отличие от теории Бора, квантования момента импульса L и его проекции L_z объясняет некоторые особенности спектров излучения и поглощения атома водорода, которые не могли быть объяснены теорией Бора. Для пояснения этих особенностей изобразим схему уровней атома водорода, на которой учтено вырождение уровней по азимутальному квантовому числу l, (см. рис. 8.2).

Рис. 8.2

На приведенной схеме по вертикали отложена полная энергия E_n электрона в атоме водорода, выраженная в электронвольтах и значения главного квантового числа n. По горизонтали отложены дискретные значения азимутального квантового числа l  вместе с их спектроскопическими обозначениями.

Линии, соединяющие энергетические уровни, обозначают разрешенные правилом отбора переходы электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом или испускаются или поглощаются фотоны соответствующих энергий  ε = E_n - E_m.

Правило отбора связано с тем, что фотон обладает собственным моментом импульса. При излучении света фотон уносит момент импульса из атома, а при поглощении - приносит. Поэтому, вследствие закона сохранения момента импульса, момент импульса атома в процессах излучения и поглощения фотонов изменяется. Оказывается, с наибольшей интенсивностью идут такие переходы, в которых выполняется следующее правило отбора:

Это правило отбора справедливо для так называемых дипольных переходов. Оно запрещает, например, дипольный переход электрона из состояния 2s в состояние 1s, разрешенный законом сохранения энергии. Поэтому электрон может сравнительно долго находиться в состоянии 1s, если он туда попадает. Такое состояние называется метастабильным.

Так как стационарные значения энергии атома водорода в теории Бора и в теории Шредингера совпадают, то в первом приближении из теории Шредингера следуют такие же спектры излучения и поглощения, как и в теории Бора. Однако, шредингеровская теория атома водорода позволяет учесть влияние на энергетические уровни взаимодействия орбитального и спинового моментов импульса электрона (тонкая структура спектра). Кроме того шредингеровская теория позволяет учесть влияние на спектры магнитного поля (эффект Зеемана) и электрического поля (эффект Штарка). Учет взаимодействия спиновых магнитных моментов ядра и электрона приводит к сверхтонкому расщеплению уровня 1s атома водорода на два подуровня. Переход электрона между этими подуровнями приводит к излучению (или поглощению) радиоволн с длиной волны λ = 21 см. Такое излучение испускается межзвездным водородом в галактиках. Изучая это излучение с помощью радиотелескопов, астрономы получают много полезной информации.