14.4.7. Проверка

Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение.

Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A₀e^-βt сократим:

.

Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A₀^βt . Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.

14.4.8. Частота затухающих колебаний

.

14.4.9. Период затухающих колебаний

.

14.4.10. График затухающих колебаний

14.4.11. Переход к апериодическому движению

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω₀ период T → ∞ . При β > ω₀ периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:

14.4.12. Логарифмический декремент затухания

,

подставим A(t) = A₀^-βt.

.

 

14.4.13. Время релаксации

Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е. ,  тогда   .

.

Т.к.    - число колебаний за время , то:

.

14.4.14. Добротность

.

14.5. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.

14.5.1. Колеблющиеся системы
В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону .	На грузик m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону .
14.5.2. Законы движения
Закон Ома для неоднородного участка цепи:	Второй закон Ньютона :
.	.
14.5.3. Применение законов движения
Применим законы движения к изучаемым системам:
Получим дифференциальные уравнения:
,	.
Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:
;	.
14.5.4. Введем обозначения

14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

.

 

14.5.6. Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:

,

здесь ξ₁(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),

ξ₂(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)

    - из (14.4.6),

здесь - - частота затухающих колебаний.

ξ₁(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ₂(t). Наша задача - найти ξ₂(t).