14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания:

строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов .

Так как

,

то

.

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

.

14.3.3. Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

,      .

Из тригонометрии: . Применяя к нашему случаю, получим:

 

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω/2 , а в два раза выше - Δω.

14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?

Это уравнения траектории в параметрическом виде. Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.

Из первого уравнения:

; .

Из второго:

.

После подстановки:  .

Избавимся от корня:

.

- это уравнение эллипса.

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

14.4. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;

б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.

14.4.1. Колеблющиеся системы

14.4.2. Законы движения
Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7):	Второй закон Ньютона (4.6):
14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем
Или, используя другое обозначение производной:
14.4.4. Введем обозначения:

 

14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид

.

14.4.6. Решение

Каким будет его решение? При (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в (см. 14.2).

Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω₀, и частота колебаний.

Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A₀·e^-βt (e=2,71828...),

тогда решение будем искать в виде:

.