2. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Скалярная мера механического движения точки равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости, называется кинетической энергией.

Кинетическая энергия точки измеряется в Джоулях (Дж).

Кинетическая энергия (энергия движения) определяется способностью движущегося тела (или точки) совершать работу.

Кинетическая энергия твердого тела или какой-либо механической системы складывается из суммы кинетических энергий его отдельных точек.

При поступательном движении

где V_C – скорость центра тяжести тела.

При вращательном движении

где - сумма произведений массы каждой частицы на квадрат её расстояния до оси вращения z – момент инерции массы тела относительно оси z.

При плоскопараллельном движении (поступательное вместе с полюсом, вращательное – вокруг полюса)

Кинетическая энергия тела при сложном его движении складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс.

Теорема об изменении кинетической энергии точки: изменение кинетической энергии точки равно сумме работ действующих сил.

Пусть на точку действует система постоянных сил, направленных вдоль одной прямой, равнодействующая которых

Теорема об изменении кинетической энергии системы тел: изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих при указанном перемещении.

3. Понятие о механической системе

Механическая система – это совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия.

Причем абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояние между материальными точками остается неизменным.

Механические системы, расстояния между точками которых могут меняться, называются изменяемыми (механизм, машина, реальное деформируемое тело).

Точки и тела системы взаимодействуют друг с другом с определёнными силами. Эти силы называются внутренними (F_i). Внутренние силы уравновешиваются только в неизменяемых системах.

Внешние силы (F_e) действуют на точки со стороны точек, не входящих в систему (например, силы тяжести).

Движение системы зависит не только от сил, действующих на точки системы. Оно определяется еще массой системы (т.е. суммарной массой всех точек системы (m = Σm_k), а также – распределением её между точками системы.

Частично это распределение масс системы характеризуется понятием «центр масс системы» (в технической механике будем рассматривать системы, для которых центр масс и центр тяжести совпадают).

Движение центра масс подчиняется уравнению

где m – масса системы;

а_С – ускорение центра масс.

4. Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твёрдое тело под действием внешних сил вращается вокруг неподвижной оси z с угловым ускорением ε.

Вращающий момент – это алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси oz.

Разобьём тело на множество материальных точек с массой Δm_k. При вращении тела каждая из этих точек движется по окружности радиуса R_k с ускорением а_k, которое раскладывается на нормальную и касательную составляющие.

К каждой материальной точке приложим элементарные силы инерции:

По принципу Даламбера активные силы, реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему, поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси z должна быть равна нулю.

Величина называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси. Момент инерции тела равен сумме произведений масс точек на квадрат расстояний до оси вращения.

Основное уравнение динамики вращающегося тела:

Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения.

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определённого условного ускорения. Момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твёрдого тела во вращательном движении, аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

38