29) Второй замечательный предел:

32) Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде

f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h)

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

33) Производная сложной функции

Если функции имеют конечные производные и , то . Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная.

34) Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных и от параметра , изменяющегося в пределах от до :

Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где  -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра .

Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

35) Определения Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀.

Таким образом df есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

36) 1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная  – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная – скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то  – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

37)

Производные высшего порядка

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид