- •Правило Саррюса
- •5) Определение
- •9) Описание метода Пусть исходная система выглядит следующим образом
- •Координаты вектора Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
- •13) Операции над векторами
- •Коллинеарные и компланарные векторы
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •15) Определение
- •Свойства Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •17) Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
- •19) Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •20) Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •21) Уравнение плоскости
- •22) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •24) Числовые последовательности
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •25) Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •29) Второй замечательный предел:
- •32) Определение
- •Определение производной функции через предел
- •34) Производные функции, заданной параметрически
- •35) Определения Для функций
- •36) 1) Физический смысл производной.
19) Уравнения прямой на плоскости
Способы задания прямой: или .
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.
При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :
Уравнение прямой, проходящей через точку c координатами (х0;у0) с известным угловым коэффициентом:
Уравнение прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой в отрезках на координатных осях:
Расстояние от точки c координатами (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0:
20) Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
21) Уравнение плоскости
Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.
Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:
Запишем последнее равенство в координатах:
Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду
Обозначая получим
Это и есть так называемое общее уравнение плоскости. Вектор называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).
Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.
22) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть плоскость задана тремя точками: , и . тогда уравнение имеет вид:
23)Каноническим уравнением прямой называют уравнение Термины направляющий вектор и начальная точка вводятся для канонического уравнения так же, как и для параметрического уравнения (и имеют тот же смысл).
Каноническое уравнение прямой в пространстве Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид: Где, , , - координаты точки, лежаей на плоскости, а m, n и p - координаты направляющего вектора прямой.
24) Числовые последовательности
Если каждому числу n из натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …, n, … поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, …,xn, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Числа x1, x2, x3, …, xn,… будем называть элементами (или членами) последовательности, xn = f (n) – формула, по которой находится каждый член последовательности, называется общим членом последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом { xn } Примеры числовых последовательностей
-
1)
-
2)
-
3) an = a1 + (n - 1)·d – арифметическая прогрессия,
-
4) xn = x1·qn - 1– геометрическая прогрессия,
-
5) xn = τ (n) – число делителей числа n,
-
6) xn = n !
Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Последовательность можно задать соотношением между двумя последовательными членами последовательности. К примеру, арифметическую прогрессию можно задать соотношением an = an-1 + d, начиная со второго члена. По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.