- •Правило Саррюса
- •5) Определение
- •9) Описание метода Пусть исходная система выглядит следующим образом
- •Координаты вектора Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
- •13) Операции над векторами
- •Коллинеарные и компланарные векторы
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •15) Определение
- •Свойства Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •17) Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
- •19) Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •20) Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •21) Уравнение плоскости
- •22) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •24) Числовые последовательности
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •25) Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •29) Второй замечательный предел:
- •32) Определение
- •Определение производной функции через предел
- •34) Производные функции, заданной параметрически
- •35) Определения Для функций
- •36) 1) Физический смысл производной.
Алгебраические свойства векторного произведения
Представление |
Описание |
свойство антикоммутативности |
|
свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр |
|
свойство дистрибутивности по сложению |
|
тождество Якоби, выполняется в и нарушается в |
|
|
|
формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа |
|
Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов |
|
значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают либо |
17) Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.
B противном случае — левая тройка.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.
18) . Определения смешанного произведения, его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).
Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.