Координаты вектора Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где  — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.

• Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

• При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

• При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

• Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

Где

• Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

13) Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

        Определение 10.6   Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).         

Рис.10.2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис.10.3.Правило треугольника

        Определение 10.7   Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .         

Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .

        Определение 10.8   Разностью векторов a и b называется сумма .         

Разность обозначается , то есть .

        Определение 10.9   Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1) и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .         

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Коллинеарные и компланарные векторы

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

            Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

            Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

            Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

            Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

14) Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

 

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как |a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

     

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.