4. Расчет ферм

4.1. Понятие о ферме

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами, предназначенная, так же как и балка для работы на изгиб.

Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Внешние нагрузки к ферме, как правило, прикладываются в узлах. Благодаря узловой передаче нагрузки стержни фермы подвергаются только осевым воздействиям растягивающих или сжимающих сил. Следовательно, стержни фермы работают только на растяжение или изгиб. При расчете фермы весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или вес фермы распределяют по узлам. В курсе рассматриваются жесткие плоские фермы, статически определяемые, образованные из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов n связаны соотношением k=2n-3.

При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

В фермах, применяемых для мостов, покрытий и перекрытий строительных сооружений, различают (рис. 4.1) верхний и нижний пояс, а также решетку. Решетка состоит из наклонных стержней, называемых раскосами и вертикальных элементов – стоек (последние могут отсутствовать).

Расстояние между опорами фермы называется ее пролетом.

Рис. 4.1

Ферма по длине пролета разбивается на панели, обычно ограниченные узлами поясов.

3.2. Методы расчета ферм.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции определяются методом статики, рассматривая ферму в целом как решетчатую балку.

Определение усилий в элементах ферм производится графическим методом путем построения диаграммы Кремоны или аналитическим (методом вырезания узлов или методом сечений Риттера).

3.2.1. Метод вырезания узлов. Этим методом пользуются, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он состоит в том, что усилия в элементах фермы определяют путем последовательного мысленного вырезания узлов и составления уравнений равновесия сил, сходящихся в рассматриваемом узле фермы. Последовательность рассмотрения узлов определяется обычно условием, чтобы число неизвестных сил, приложенных к узлу, не превосходило числа уравнений его равновесия (двух для плоской и трех для пространственной) фермы.

Приступая к расчету, мы заранее не знаем, какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты. Поэтому условно будем предполагать, что все стержни растянуты. Это означает, что реакции всех стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений при этом предположении для какого-нибудь усилия получится отрицательное значение, то соответствующий стержень сжат.

Усилия в отдельных стержнях фермы могут быть равны нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Их можно определить, не выполняя расчета фермы. В самом деле, из уравнений равновесия узлов вытекает следующие:

1. если в узле фермы сходятся два стержня и отсутствует внешняя нагрузка на узел, то указанные стержни нулевые.

2. если в ненагруженном узле фермы сходятся три стержня, из которых два направлены по одной прямой, то третий стержень нулевой.

3. если к узлу плоской фермы, в котором сходятся два стержня, приложена внешняя сила, направленная по оси одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а второй стержень нулевой.

3.2.2. Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия в форме

, (4.1)

беря центры моментов так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.