7.4. Задача № 4

Исходные данные: уравнения движения (х и у заданы в м)

х = 4t ; (1)

y = 16t² – 1 (2)

Момент времени t₁ = сек.

Движение точки М происходит в плоскости.

Уравнения (1) и (2) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения:

Тогда из (1) t = . Делая подстановку в (2), получаем

у = х² – 1 (3)

Полученное выражение есть уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

м/сек;

м/сек.

Модуль скорости точки

v =; (4)

v = = 16,5 м/сек.

Находим проекции ускорения точки на оси координат

а_x = = 0;

а_y = = 32 м/сек².

В заданный момент времени t = t₁ = ½ с они имеют значения а_x = 0; а_y = 32 м/сек².

Модуль ускорения точки

а = .

а = = 32 м/сек².

Координаты точки, а также ее скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для заданного момента времени t = t₁ = ½ с для удобства заносим в таблицу 1.

Таблица 1

Координаты, м		Скорость, м/сек			Ускорение, м/сек2					Радиус кривизны, м
x	y	vx	vy	v	аx	аy	а	аτ	аn	ρ
2	3	4	16	16,5	0	32	32	31	7,94	34,3

Касательное ускорение находим путем дифференци-рования модуля скорости (4):

а_τ = ;

В заданный момент времени t = t₁ = ½ с

= 31 м/сек².

Следовательно, модуль касательного ускорения

а_τ = 31 м/сек².

Знак «+» при показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления и совпадают.

Нормальное ускорение точки в данный момент времени

= 7,94 м/сек².

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = t₁ = ½ с находится точка М: = 34,3 м

Полученные значения а_τ,а_n и ρ также заносим в табл. 1.

Построение параболы производим на миллиметровке в удобном масштабе в соответствии с (1) и (2), задаваясь временем t (начиная с t = 0, включая t = t₁ = ½ с). Данные расчетов заносим в табл. 2.

Таблица 2

Вычисление траектории точки м

Положение точки	t, c	Координаты точки
		x, м	y, м
М0	0	0	– 1
М1	0,25	1	0
М2	0,75	3	8
М3	1,0	4	15
Исследуемое положение
М	t1 = 0,5	2	3

Показываем на траектории начальное положение точки Мо (при t = 0, х = 0 м, у = – 1 м), положение точки М в заданный момент времени (при t = ½ с, х = 2 м, у = 3 м). Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим и , так и по и , чем контролируем правильность решения.

Приложение 1