1. Система сходящихся сил
Сходящейся называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Вектор, равный геометрической сумме сил какой-либо системы называется главным вектором этой системы сил.
1.1. При бескоординатном методе задания сил равнодейст-вующая определяется путем построения силового многоугольника.
(1.1)
При определении равнодействующей системы сходящихся сил используют геометрический (графический) и аналитический способы.
1.1.1. Геометрический способ состоит в
графическом построении силового
многоугольника в некотором масштабе и
определяется по правилу параллелограмма
или силового многоугольника. Величина
и направление равнодействующей
определяется из построения. Равнодействующая
соединяет начальную точку О с концом
последнего вектора.
Рис. 1.1
Модуль вектора
(рис. 1.1) определяется по формуле
(1.2)
Углы β и γ (рис. 1.1) между
равнодействующей
и слагаемыми силами
и
вычисляют по теореме синусов:
(1.3)
1.1.2. При координатном задании сил
,
,
…,
координаты равнодейст-вующей
определяются по формуле
(1.4)
Модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы определяются выражениями:
R=
(1.5)
cos
(x^,
)=
;
cos
(y^,
)=
;
(1.6)
cos(z^,
)=
.
1.2. Условия равновесия системы сходящихся сил.
=
+
+
... +
=
0. (1.7)
1.2.1. Геометрически условие (1.7) выражает тот факт, что силовой многоугольник уравновешенной системы сходящихся сил должен быть замкнутым, т.е. конец последней силы должен совпадать с началом первой силы.
1.2.2. Аналитическое условие равновесия (1.6) в координатной форме имеет вид:
(1.8)
Таким образом, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно равенство нулю алгебраических сумм проекции всех сил на координатные оси.
2. Произвольная система сил
2.1. Основная теорема статики.
Теорема. Всякая система сил эквивалентна главному вектору системы, приложенному в какой-либо точке тела (центре приве-дения) и главному моменту всех сил относительно этой точки.
Система сил приводится к главному вектору
, (2.1)
и главному моменту
(2.2)
При координатном задании сил главный
вектор системы определяют по формулам
(1.4). Проекции главного вектора
на
оси координат будут:
,
(2.3)
Модуль главного вектора определяется по его проекциям на оси координат:
(2.4)
а его направляющие косинусы определяются формулами:
cos (x^,
)
=
,
cos
(y^,
)
=
,
(2.5)
cos(z^,
)
=
.
Модуль и направляющие косинусы главного момента определяются формулами:
М
=
; (2.6)
cos (x^,
)
=
,
cos
(y^,
)
=
,
(2.7)
cos (z^,
)
=
.
2.2. Условия равновесия произвольной системы сил.
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
.
(2.8)
При координатном задании сил главный вектор системы определяют (1.4, 1.5 и 1.6). Проекции главного вектора с началом в центре приведения О
;
;
;
;
;
. (2.9)
2.3. Плоская система сил. Теорема Вариньона.
Большинство практических задач техники приводят к этому случаю воздействия сил на твердое тело.
Теорема. Если система сил, приложенных к твердому телу, приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки.
. (2.10)
Это выражение (2.10) известно как теорема Вариньона для плоской системы сил: алгебраическая сумма моментов всех сил плоской системы относительно любой точки равна моменту равнодействующей этой системы относительно той же точки.