Задача № 3

Изобразить на чертеже в масштабе схему заданной фермы с указанием всех размеров и действующих на нее сил.

Расчет фермы состоит из двух частей:

а) определение опорных реакций;

б) определения усилий в стержнях фермы при известных реакциях опор.

А) Определение опорных реакций

1. При определении опорных реакций ферму рассматриваем как абсолютно твердое тело заданных размеров, на которое действуют активные силы и реакции связей. Реакции опор фермы определяются так же, как и для балки. Наклонные силы и раскладываем на составляющие, параллельные осям х и у ( на рис. 6.5 показаны P₁sinβ; P₁cosβ; P₂sinα; P₂cosα).

2. Расчетная схема показана на рис. 7.5.

Условия равновесия для полученной плоской системы сил:

ΣF_kx = 0; ΣМ_А = 0; ΣМ_В = 0.

3. Уравнения равновесия:

ΣF_kx = P₂·sin α + R_Bx – P₁·sin β = 0; (1)

ΣM_A = – P₂·cosα·a – P₂·sinα·3a·tgα – P₃·2a + R_By·3a +

+ P₁·cos β·4a + P₁·sin β·6a·tgα = 0; (2)

ΣM_B = – R_A·3a + P₂·cosα·2a – P₂·sinα·3a·tgα +

+ P₃·a + P₁·sin β·6a·tgα + P₁·cos β·a = 0; (3)

4. Решить уравнения равновесия и определить неизвестные реакции опор R_A; R_Bx; R_By.

5. Проверка аналитическая:

ΣF_kу = R_А – P₂·cosα – P₃ + R_Bу + P₁·cosβ = 0.

Графическая проверка – построение силового много-угольника (рис. 7.6) (аналогично предыдущей задаче проверяем равенство нулю главного вектора системы сил)

Σ = +++++= 0.

Рис. 7.5 Рис. 7.6

Б) Определение усилий в стержнях фермы

1. Предварительно пронумеруем все стержни фермы арабскими цифрами. Узлы обозначим заглавными буквами (рис. 7.5). Для определения усилий в стержнях указанной преподавателем правой или левой половины фермы пользуемся способом вырезания узлов, который заключается в том, что из фермы мысленно вырезается узел, в котором сходятся два стержня, и рассматривается его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней, величина которых определяется из двух уравнений равновесия полученной плоской системы сходящихся сил. Переходя от узла к узлу, последовательно рассматриваем аналогично равновесия каждого узла. При этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях.

2. Для определения усилий в стержнях 1 и 2 мысленно вырезаем (по линии 1-1) узел «К» компенсируем усилиями и , которые направляем от узла вдоль стержней (рис. 7.7,а), предпо-лагая, что они растянуты. Рассматриваем равновесие узла «К».

Объект равновесия – узел «К». Действующие силы и реакции связей , , .

Система сил – сходящаяся на плоскости. Неизвестных – 2 (S₁, S₂).

Условия равновесия:

ΣF_kx = – P₁·sin β – S₂·cos α = 0; (1)

ΣF_ky = P₁·cos β – S₂·sin α – S₁ = 0; (2)

Решая уравнения (1) и (2), определяем неизвестные усилия S₁ и S₂. Получение отрицательного значения реакции будет свидетельствовать, что данный стержень сжат.

Выполняем графическую проверку правильности полученных результатов построением силового треугольника (рис. 7.7, б). Σ = ++= 0.

Рис. 7.7, а Рис. 7.7, б

3. Переходим к узлу С, т.к. он содержит только два стержня с неизвестными усилиями: S₃ и S₄. на расчетной схеме узла (рис. 7.8, а) усилие направлено противоположно , а по величине равно ему.

Уравнения равновесия для узла С:

ΣF_kx = S₄ + S₃·cos γ = 0; (3)

ΣF_ky = + S₃·sin γ = 0; (4)

Угол γ находим из треугольника BNC:

tg γ = == 5tgα.

Решая уравнения (3) и (4), определяем неизвестные S₃ и S₄.

Графическая проверка равновесия узла С показана на рис. 7.8, б.

Рис. 7.8, а Рис. 7.8, б

4. Для определения усилий в стержнях 5 и 8 целесообразно вырезать узел «В» по линии III–III и рассмотреть его равновесие (рис. 7.5). Расчетная схема узла «В» показана на рис. 7.9, а.

Уравнения равновесия для узла В:

ΣF_kx = –S₈ + R_Bx + = 0; (5)

ΣF_ky = S₅ + R_Bу = 0; (6)

Решая уравнения (5) и (6), определяем неизвестные усилия S₅, S₈.

Графическая проверка равновесия узла «В» показана на рис. 7.9, б.

Σ = +++ + = 0.

Рис. 7.9, а Рис. 7.9, б

Затем последовательно рассматриваем равновесие узлов N, E, L и т.д.

5. Для проверки правильности определения усилий в стержнях фермы воспользуемся другим способом – методом сечений (методом Риттера). Разрезаем мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы (в том числе опорные реакции), на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало 3-х, и заменяем действие отброшенной части искомыми усилиями стержней. Для отрезанной части фермы составляем 3 уравнения равновесия в виде уравнений моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий (точек Риттера). При этом в каждое уравнение будет входить только одно неизвестное усилие, что уменьшает объем вычислений.

Например, для проверки усилий в стержнях 2, 3, 4 проведем сечение II–II через эти стержни и рассмотрим равновесие правой части фермы (рис. 7.10). Система сил – плоская произвольная. Неизвестных – 3 (S₂, S₃, S₄). Условия равновесия: ΣМ_N = 0, ΣМ_D = 0, ΣМ_C = 0.

Уравнения равновесия:

ΣМ_N = P₁·cos β·a + P₁·sin β·h_o – S₄·h₄ = 0 ; (7)

ΣМ_D = P₁·cos β·6a + P₁·sin β·6a·tg α + S₃·h₃ = 0 ; (8)

ΣМ_C = P₁·sin β·6a·tg α + S₂·6a·sin α = 0. (9)

Решая уравнения (7), (8), (9), определяем S₂, S₃, S₄.

Рис. 7.10 Рис.7.11

Построив силовой многоугольник для отрезанной части фермы, проверяем равенство нулю главного вектора приложенной к ней системы сил (рис. 7.11).

Для определения усилий в стержнях 6, 7, 8 проводим сечение IV–IV и т.д.