Глава 7. Основы финансовой математики

7.1. Временная стоимость денег

Финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной стоимости денег, являются одним из краеугольных элементов финансового анализа и используются в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, операциях на рынке ценных бумаг, в ссудозаёмных операциях, в оценке бизнеса и др. Переход к рыночной экономике на предприятиях как реального, так и финансового секторов сопровождается появлением некоторых новых видов деятельности, имеющих для благополучия предприятия принципиальных характер. К их числу относится задача эффективного вложения денежных средств. В условиях централизованно планируемой экономики на уровне обычного предприятия такой задачи практически не существовало. Причин было несколько.

Прежде всего, ни юридические, ни физические лица официально, как правило, не располагали крупными свободными денежными средствами. В частности, денежные ресурсы предприятия жестко лимитировались прямыми или косвенными методами. Ещё одна причина состояла в том, что практически единственный путь использования свободных денег был связан с размещением их под проценты в сберегательном банке. Стабильность экономического развития, оказавшаяся, как теперь принято говорить, застоем, гарантировала в этом случае не только сохранность денежных средств, но и их небольшой рост.

Ситуация резко изменилась в последние годы. Можно выделить, как минимум шесть основных моментов.

Во- первых, были упразднены многие ограничения, в частности, нормирование оборотных средств, что автоматически исключило один из основных регуляторов величины финансовых ресурсов на предприятии.

Во – вторых, кардинальным образом изменился порядок исчисления финансовых результатов и распределения прибыли. С введением новых форм собственности стало невозможным изъятие прибыли в бюджет волевым методом, как это делалось в отношении государственных предприятий, благодаря чему у предприятий появились свободные денежные средства.

В – третьих, как уже упоминалось выше, произошла существенная переоценка роли финансовых ресурсов, то есть появилась необходимость грамотного управления ими, причём в различных аспектах - по видам, по назначению, во времени и т.д.

В четвертых, появились принципиально новые виды финансовых ресурсов, в частности, возросла роль денежных эквивалентов, в управлении которыми временной аспект имеет решающее значение.

В – пятых, произошли принципиальные изменения в вариантах инвестиционной политики. Переход к рынку открывает новые возможности приложения капитала: вложения в коммерческие банки, участие в различного рода рисковых предприятиях и проектах, приобретение ценных бумаг, недвижимости и т.п. Размещая капитал в одном из выбранных проектов, финансовый менеджер планирует не только со временем вернуть вложенную сумму, но и получить желаемый экономический эффект.

В – шестых, в условиях свойственной переходному периоду финансовой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах инфляции и снижении объёмов производства, стало невыгодным хранить свои деньги в банке. Многие предприятия на своем опыте познали простую истину: в условиях инфляции денежные ресурсы, как и любой другой вид активов, должны обращаться, и по возможности быстрее.

Таким образом деньги приобретают ещё одну характеристику, доселе неведомую широкому кругу людей, но объективно существующую, а именно – временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в трех аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени (инфляцией).

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). По сравнению с денежной суммой, которая будет получена в будущем, та же сумма, имеющаяся в наличии в настоящий момент, может быть немедленно пущена в оборот и таким образом принесет дополнительный доход.

Третий аспект связан с риском неполучения денежных средств. В экономике практически не бывает безрисковых ситуаций, всегда существует вероятность того, что по каким-либо причинам ожидаемая к получению сумма получена не будет.

Проблема «деньги - время» не нова, поэтому уже разработаны удобные модели и алгоритмы, позволяющие ориентироваться в истинной цене будущих доходов с позиции текущего момента. Изменение стоимости денежных средств при заданном уровне доходности можно просчитать. Специалисты называют это основами финансовой математики.

На величину изменения денежных потоков будут влиять следующие факторы:

- количество периодов накопления;

- уровень доходности (процентная ставка);

- порядок начисления процентов (по простой или сложной схеме);

- порядок вложения денежных средств (сразу или частями);

- возврат (изъятие) денежных средств – сразу или частями (аннуитет).

При этом отношение прироста к базовой величине называется процентной ставкой. Отношение прироста к наращенной величине называется учетной ставкой.

В качестве базовых расчетных формул используются формулы простых и сложных процентов.

Формула простых процентов:

К ф = ( 1 + r *n) (1)

Формула сложных процентов:

К ф = ( 1 + r ) ⁿ (2)

Формула сложных процентов называется компаундинговый фактор и показывает, какая сумма будет у вас через n периодов при процентной ставке r.

Обратная величина – фактор дисконтирования, показывает, сколько денег нужно вложить сегодня, чтобы через определенное количество периодов при заданной процентной ставке получить требуемую сумму:

Д ф = 1/ ( 1 + r ) ⁿ .

При этом под дисконтом понимают неравноценность затрат и результатов, осуществляемых и получаемых в различный период времени.

При проведении инвестиционного анализа, как правило, используется формула сложных процентов. При этом ставка доходности может быть известна заранее (как условие функционирования проекта) или может быть определена как сумма процентных ставок, характеризующих инфляцию, степень риска и желаемый уровень доходности:

r = i + p + d.

Количество периодов накопления (срок функционирования проекта) чаще всего принимается равным сроку службы активной части основных средств. Проект окупается, если сумма дисконтированных денежных потоков, генерируемых проектом за все периоды накопления, превышает сумму первоначальных инвестиций. При этом денежный поток рассчитывается как сумма чистой прибыли и амортизационных отчислений:

R i

 --------------- > IC,

( 1+ r ) ⁱ

где Ri - денежный поток данного периода;

IC – сумма инвестиций.

Если рассматриваются несколько инвестиционных проектов, более предпочтительным считается тот, который генерирует большую разницу между дисконтированными денежными потоками и первоначальной суммой инвестиций. Такую разницу называют чистой текущей стоимостью проекта.

В инвестиционном анализе зачастую необходимо определить норму доходности, при которой проект окупится. Определить этот показатель можно следующим образом:

Например, при ставке доходности 25% ЧТС (чистая текущая стоимость) имеет значение +85 (проект окупается). При ставке доходности 35% ЧТС имеет значение - 67. Определим расстояние между этими двумя точками:

(85+67) = 152.

Тогда внутренняя норма доходности:

25% + (85/152) * (35% – 25%) = 30, 59%.

Если обозначить по оси ординат ЧТС, а по оси абсцисс норму доходности, то можно, имея несколько точек (значения ЧТС разных уровнях доходности), построить график зависимости. Точка, где линия графика пересечется с осью абсцисс, и есть внутренняя норма доходности.

Вопросы для обсуждения:

1. Какой тип наращения денежных средств более предпочтителен при хранении денег в банке – начисление процентов по простой или сложной схеме?

2. Назовите основные методы государственного регулирования денежных ресурсов предприятия.

3. На ваш взгляд, какие инвестиции имеют большую степень риска и почему?

4. Какие виды ценных бумаг имеют хождение в России?

5. Стоит ли инвестировать деньги в проект, чистая текущая стоимость которого равна нулю?

6. Почему в расчет денежного потока включают чистую прибыль и сумму амортизационных отчислений?

7. Обсудите плюсы и минусы различных направлений вложения капитала на современном этапе.

Задачи и ситуации:

1. Выберите наиболее предпочтительный проект, если сумма первоначальных инвестиций составляет 100 млн. р., коэффициент дисконтирования – 15%. Проект А предполагает получение годового дохода в сумме 200000 р. в течение 10 лет, начиная со второго года реализации проекта. Проект Б предполагает получение годового дохода в сумме 350000 р. в течение шести лет, начиная с третьего года реализации проекта.

2. Рассчитайте чистую текущую стоимость проекта, если сумма первоначальных инвестиций составляет 50 млн. р., сумма ежегодных амортизационных отчислений – 10% от суммы первоначальных инвестиций. Получение чистой прибыли планируется с момента ввода в действие оборудования (со второго года реализации проекта). Предполагается, что сумма чистой прибыли составит в первый год эксплуатации оборудования 500000 р. и будет увеличиваться на 10% ежегодно в течение всего срока эксплуатации оборудования (10 лет). Коэффициент дисконтирования – 15%.

3. Рассчитайте внутреннюю норму доходности, если сумма первоначальных инвестиций составляет 100 млн. р., ежегодный денежный поток – 20 млн. р., срок жизни проекта – 10 лет.

4. Проект, рассчитанный на 15 лет требует инвестиций в размере 10 млн. р. В первые 7 лет денежных поступлений не ожидается, в последующие 8 лет ежегодный денежный поток составит 4 млн. р. Окупится ли данный проект, если коэффициент дисконтирования составляет 15%?.

5. Сравните проекты по критериям чистой текущей стоимости, если имеются следующие данные о первоначальных инвестициях и последующих денежных потоках (цена капитала составляет 15%):

Проект	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год	6-й год
А	- 200000	50000	50000	50000	50000	100000
Б	- 250000	20000	40000	80000	160000	160000