Примечание

Среднеарифметическое число рангов = (21 + 15 + 9 + 28 + 7 + 25 + 35) /7 = 20.

5.2. Методика проведения корреляционного анализа

Проводится в несколько этапов. На первом этапе необходимо составить выборку фактических данных о значении фактора и соответствующих значений анализируемого показателя. Чем больше исходных данных, тем точнее будут результаты расчетов. Минимальное количество наблюдений – 8, оптимальное – около 30. Результаты наблюдения ранжируются в порядке увеличения показателя-фактора. Затем рассчитываются среднеквадратичные и нормированные отклонения. Обозначим анализируемый показатель У, показатель - фактор Х.

Среднеквадратичные отклонения:

х = (∑ ( х_i – x_ср))/ n,

у = (∑ ( y_i – y_ср))/ n,

где n – количество наблюдений;

x_ср , y_ср - среднеарифметические значения соответственно х и у.

Нормированные отклонения:

Тх = ( х_i – x_ср)/ х;

Ту = ( y_i – y_ср)/ у.

Коэффициент корреляции:

R = ( Тх * Ту) / n.

По значению коэффициента корреляции определяют тесноту и характер взаимосвязи между показателями. Коэффициент может изменяться в диапазоне от 0 до 1 и может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем более тесная взаимосвязь между показателями. Положительное значение говорит о прямой взаимосвязи, отрицательное – об обратной. Пороговое значение коэффициента для осуществления дальнейших расчетов – 0,7.

При значении 0,7 индекс детерминации, который равен квадрату коэффициента корреляции, имеет значение 0,49. Индекс детерминации показывает долю влияния выбранного фактора на анализируемый показатель. Очевидно, что если доля влияния выбранного фактора меньше 0,5, дальнейшие расчеты не имеют смысла.

После оценки тесноты взаимосвязи необходимо выбрать функцию, график которой максимально приближенно описывает данную взаимосвязь. Наиболее часто используются графики следующих функций:

У = А + В * Х;

У = А + В * ln X;

У = А + В / Х.

После выбора функции необходимо рассчитать параметры уравнения А и В. Используется метод наименьших квадратов. Решение сводится к решению системы линейных уравнений. Приведен пример системы линейных уравнений для линейной функции:

n * a + b * ∑x = ∑y;

a * ∑x + b * ∑x² = ∑(x*y).

После определения параметров модель можно использовать. Для этого подставляем в формулу желаемое значение фактора и определяем вероятное значение показателя. В качестве проверки можно рассчитать ошибку аппроксимации – процент отклонения значения фактического от значения, рассчитанного по модели:

Ап = ( 1 / n) * ( |У ф – У р| )* 100 / У ф.

Значение ошибки аппроксимации до 10% говорит о наилучшем подборе модели.

Метод экстраполяции временных рядов заключается в определении тенденции изменения показателя во времени. Может считаться частным случаем корреляционного анализа, когда в качестве фактора выступает время. Однако экстраполяция применяется и тогда, когда изменение показателя зависит от нескольких факторов, и его трудно описать однофакторной функцией. В этом случае определение тенденции изменения показателя может быть единственным возможным способом прогнозирования (рис. 9)

Рис. 9. Пример экстраполяции показателя

При проведении экстраполяции временных рядов нельзя забывать о том, что данный метод имеет весьма небольшой «доверительный интервал прогнозирования». Используя время в качестве фактора прогнозирования, следует помнить, что при изменении каких-либо факторов внешней среды изменится и динамика показателя. Например, прогноз развития транспорта на 1998 год предусматривал возрастание пассажиропотоков и грузопотоков приблизительно на 1-2 %. В 1999 году также ожидался устойчивый рост показателей. В результате финансового кризиса 1998 года следующий за ним год оказался одним из самых неблагоприятных для транспортных отраслей.

Вопросы для обсуждения:

1. Существует мнение, что для описания любого экономического процесса линейная функция применима лишь при незначительном изменении объекта прогнозирования. Прокомментируйте это утверждение.

2. Если ошибка аппроксимации составляет более 50%, результаты прогнозирования считаются неудовлетворительными. Можно ли получить такое значение ошибки аппроксимации, если коэффициент корреляции (теснота взаимосвязи между показателями) близок к единице? Почему?

Задачи и ситуации:

1. Для продукта была разработана шкала качества в баллах от 0 до 30. Проведены наблюдения цены в зависимости от качества. Получены следующие значения:

№ п/п	Качество (х)	Цена (у)
1	2	12
2	4	11
3	6	14
4	8	16
5	10	17
6	12	19
7	15	20
8	17	21
9	20	23
10	26	27

Рассчитать тесноту взаимосвязи между показателями, сделать вывод о целесообразности расчета модели. Рассчитать параметры линейного уравнения, построить график. Рассчитать ошибку аппроксимации.

Предположим, что качество товара соответствует 15 баллам. Цена – 22 рубля. Завышена или занижена цена товара относительно данных полученной модели?

2. Имеются следующие данные об изменении пассажиропотока по маршруту.

Год	2000	2001	2002	2003	2004
Количество пассажиров	14152	18590	22130	23450	23800

Принимая 2000 год за первый год наблюдений, рассчитайте тесноту взаимосвязи между показателями. Выберите график функции, с наибольшей точностью описывающий зависимость между двумя показателями. Рассчитайте прогнозируемый пассажиропоток на 2005 год (шестой год наблюдений).