9. Контрольное задание

1. В урне находятся 3 шара белого цвета и шаров черного цвета. Наугад по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров.

2. В урне находятся белых, черных шара. Последовательно извлекаются наудачу три шара без их возвращения в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

10.Домашнее задание (подготовительный этап к следующему занятию)

4. Изучить теоретический материал по теме «Формула полной вероятности и формула Байеса».

5. Задания и вопросы по теме:

• Описать ситуацию, когда при вычислении вероятности наступления события А применяется формула полной вероятности.

• Выписать формулу полной вероятности.

• Охарактеризовать события

• Как называют еще формулу Байеса?

• Что означает .

3) Выполнить задачи 3 – 4 практического теста (типового расчета).

Практическое задание №3

Тема: Формула полной вероятности и формула Байеса.

Цель: научиться определять ситуацию наступления события А с одним из несовместных попарно событий , образующих полную группу событий; совершенствовать умение вычисления и ; освоить применение формул полной вероятности и формулы Байеса.

Содержание занятия

1. Примеры решения задач на вычисление вероятности наступления события а с одним из событий которые образуют полную группу событий.

Формула

носит название формулы полной вероятности.

Пример 1. В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 – на втором и 14 – на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках отличного качества, соответственно равны 0,7, 0,85, 0,9. Взятое наугад изделие оказалось отличного качества. Определить вероятность того, что выбранное изделие отличного качества.

Решение. Пусть событие А – выбранное изделие отличного качества.

Выбранное изделие может быть изготовлено на первом, втором или третьем станке; т.е. возможны три гипотезы .

изделие изготовлено на первом станке;

изделие изготовлено на втором станке;

изделие изготовлено на третьем станке.

События (гипотезы) образуют полную группу событий.

По условию требуется найти вероятность события А, которое наступит с одной из гипотез следовательно, применим формулу полной вероятности. Вычислим по классической формуле где

Т.к. образуют полную группу событий, то .

Проверка: .

Условные вероятности наступления события А с даны в условии задачи:

Тогда по формуле полной вероятности будем иметь:

Решение задачи можно оформить в виде таблицы:

	Гипотезы
1	изготовлена на первом станке		0,7
2	изготовлена на втором станке		0,85
3	изготовлена на третьем станке		0,9
		1		0,804

Пример 2. Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода первой микросхемы в течение определенного времени равна 0,2, а второй – 0,1. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность выхода одной микросхемы?

Решение. Пусть событие А – по истечении определенного времени вышла из строя одна микросхема. В течение определенного времени могли произойти следующие события:

вышли из строя обе микросхемы;

первая вышла из строя, вторая выдержала испытание;

первая выдержала испытание, вторая отказала;

обе выдержали испытание.

Других исходов, очевидно, быть не может, значит, события образуют полную группу событий и можно назвать их гипотезами.

Проверка:

Условные вероятности равны:

Вычислим

Внимание! Возможна ошибка: если высказать две гипотезы и , не приняв во внимание и , то и не образуют полную группу событий, д-но, , а должно равняться 1.

Поэтому при решении задач на вычисление вероятности наступления события А с одной из гипотез следует помнить, что гипотезы должны образовывать полную группу событий и значит, сумма вероятностей гипотез должна равняться 1.

Пример 3. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранный партии наугад извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая так же оказывается стандартной. Найти вероятность того, что извлеченная вторично деталь из той же партии.

Решение. Пусть событие А – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь из одной и той же партии (или из первой, или из второй, или из третьей).

По есть событие А возможно с одним из трех событий (гипотез):

детали извлекались из первой партии;

детали извлекались из второй партии;

детали извлекались из третьей партии.

Для вычисления применим формулу полной вероятности.

Вычислим вероятности гипотез

По условию детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

Вычислим условные вероятности:

т.к. событие «из первой партии последовательно извлечены две стандартные детали» достоверное, ибо в первой партии все детали стандартные.

т.к. событие «из второй партии последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали» означает, что вероятность этого события равна произведению вероятностей независимых событий «извлечена стандартная деталь из второй партии» и «извлечена стандартная деталь из второй партии вторично» с вероятностями и соответственно.

Аналогично,

Пример 4. Пусть в коробке есть 3 новых 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наугад вынуть два новых мяча?

Решение. Пусть событие А – вынуть два новых мяча для второй игры. Случайное событие А связано с событием взятия двух мячей для первой игры; по условию задачи неизвестно каких мячей, значит, возможны следующие предположения (гипотезы):

оба мяча новые;

один новый, один использованный;

оба использованные.

Событие А может наступить с одним из которые образуют полную группу событий.

Для вычисления используем формулу полной вероятности.

Вычислим

Проверка:

Вычислим

означает условную вероятность события «взяли два новых мяча для второй игры» при гипотезе для первой игры оба мяча взяли новые. После того, как их положили обратно после первой игры, в коробке стало: 1 мяч новый и 5 использованных.

Тогда , т.к. событие А – невозможное, взять два новых мяча из коробки с одним новым мячом невозможно.

т.к. в коробке перед второй игрой при гипотезе было 2 новых мяча и 4 использованных.

т.к. в коробке перед второй игрой при гипотезе было 3 новых мяча и 3 использованных.

Итак,

Пример 5. В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей 5 бракованных. Из первого во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что деталь извлеченная после этого из второго ящика бракованная.

Решение. Пусть событие А – деталь, извлеченная из второго ящика после того, как из первого во второй переложили две детали, бракованная.

Событие А связано с перекладыванием двух деталей из первого ящика во второй. По условию задачи неизвестно, какого качества детали, следовательно, возможные следующие предположения – гипотезы:

переложили две бракованные детали;

переложили одну бракованную и одну стандартную детали;

переложили две стандартные детали.

Событие А наступит с одной из гипотез , образующих полную группу событий и, следовательно, вычислим по формуле полной вероятности.

Вычислим :

Проверка:

Вычислим

т.к. во второй ящик положили 2 бракованные детали и в нем из 32 деталей стало 7 бракованных.

т.к. во второй ящик положили 1 бракованную и 1 стандартную деталь, и в нем из 32 деталей стало 6 бракованных.

т.к. во второй ящик положили две стандартные детали и в нем из 32 деталей осталось 5 бракованных.

Итак,

Пример 6. По теории вероятностей и математической статистике имеется 30 экзаменационных билетов. Студент Иванов выучил только 20. Каким выгоднее ему зайти на экзамен: первым или вторым?

Решение. Пусть событие А – студент Иванов заходит первым.

Пусть событие В – студент Иванов заходит вторым.

Событие В произойдет, если произойдет одно из несовместных событий:

первый студент взял билет из 20 билетов, которые знает студент Иванов;

первый студент взял билет из 10 билетов, которые Иванов не знает.

вычислим по формуле полной вероятности. Вычислим :

Вычислим

Итак,

То есть не имеет значения, зайдет студент первым пли вторым.