- •Часть 1
- •1. Решить систему неравенств, графическим способом.
- •Алгоритм решения неравенств, графическим способом.
- •2. Решить графически задачу линейного программирования и составить двойственную задачу.
- •Геометрическое решение задачи линейного программирования.
- •3. Вероятность того, что заказ выполнен в срок – 0,96. Какое количество заказов, выполненных в срок, содержится в каждой партии объемом в 500 штук.
- •4. Пусть - дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей:
- •5. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5; 6; 9; 12;48. Найдите несмещённую оценку математического ожидания.
- •6. Найдите моду вариационного ряда:
- •Часть 2
- •Теоретические вопросы.
- •Практическое задание №1
- •Содержание занятия
- •1. Примеры решения типовых задач на определение вида соединений и подсчета их числа.
- •2. Примеры задач на описание пространства элементарных событий и вычисление числа элементарных событий (объема пространства).
- •3. Примеры решения задач на непосредственное вычисление вероятностей.
- •4. Задачи тест-тренинга.
- •Содержание занятия
- •1. Примеры задач на составление сложных событий.
- •2. Примеры решения задач на сложение вероятностей несовместных событий.
- •3. Примеры решения задач по умножению вероятностей независимых событий.
- •4. Примеры решения задач на сложение вероятностей двух совместных событий.
- •5. Примеры решения задач на вычисление условной вероятности.
- •6. Примеры задач на сложение и умножение вероятностей.
- •7. Примеры решения задач на вероятность появления хотя бы одного события.
- •8. Задачи тест-тренинга.
- •9. Контрольное задание
- •Содержание занятия
- •1. Примеры решения задач на вычисление вероятности наступления события а с одним из событий которые образуют полную группу событий.
- •2. Примеры задач на вычисление условной вероятности гипотезы после того, как событие произошло.
- •3. Задачи тест-тренинга.
- •4. Контрольное задание
Содержание занятия
1. Примеры задач на составление сложных событий.
Пример 1. В цехе имеется три резервных мотора, которые в данный момент могут быть одни включены, другие нет.
Пусть событие включен i-ый мотор, ;
событие не включен i-ый мотор, .
Составить:
-
Событие В – включены все три мотора. Событие В означает, что включен первый, второй и третий мотор в данный момент, т.е. В может быть представлено так:
-
Событие С – в данный момент включен только один мотор (безразлично какой). Событий С можно представить так:
где событие означает, что в данный момент включен первый мотор, а второй и третий выключены;
событие означает, что включен второй мотор, а первый и третий выключены;
событие означает, что включен третий мотор, а первый и второй выключены.
-
Событие D – включены по крайней мере два мотора, т.е. или два или три.
т.е. в данный момент включены первый и второй моторы, а третий выключен; или первый и третий включены, а второй выключен; или второй и третий выключены, а первый включен; или включены первый, второй и третий.
-
Событие Е – все три мотора отключены.
.
2. Примеры решения задач на сложение вероятностей несовместных событий.
Если попарно несовместны, то
.
Пример 1. Из урны, содержащей 20 белых, 15 голубых и 5 зеленых шаров, наугад извлекли один шар. Какова вероятность извлечения цветного шара?
Решение. Согласно условию задачи нас интересует случай извлечения цветного шара, неважно какого голубого или зеленого.
Пусть событие С – извлечение цветного шара;
событие А – извлечение голубого шара;
событие В – извлечение зеленого шара.
Надо вычислить наступление одного из двух несовместных событий: или А, или В.
Следовательно, ; .
Вычислим вероятность извлечения цветного шара.
Пример 2. Группа студентов – спортсменов, состоящая из 6 студентов I курса, 5 студентов II курса и 4 студента III курса, проводит тренировку. Одновременно тренируются двое. Какова вероятность того, что войдя случайно на тренировку, мы застанем тренирующимися двух студентов одного курса?
Решение. Пусть событие А – тренируются два студента одного курса (или I или II или III).
Событие тренируются студенты го курса, .
События несовместны и
.
.
Очевидно, что
.
Пример 3. События образуют полную группу событий. Известно, что Найти вероятность события .
Решение. Т.к. события образуют полную группу событий, то . Отсюда
.
Пример 4. События А и В противоположные. Какова вероятность события В?
Решение. Т.к. события А и В противоположные, то они образуют полную группу событий и
3. Примеры решения задач по умножению вероятностей независимых событий.
Если независимы в совокупности, то
.
Пример 5. В течение года две фирмы имеют возможность независимо друг от друга обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09 соответственно. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.
Решение. Пусть событие А – обе фирмы в конце года будут функционировать (первая и вторая).
Событие будет функционировать ая фирма, .
События
События и независимы, значит .
Найдем и . По условию известны вероятности банкротства каждой фирмы. События «фирма функционирует» и «фирма обанкротилась» противоположные. Следовательно,
Тогда
Пример 6. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Стрелку разрешено стрелять до первого промаха. Какова вероятность того, что стрелок произведет: а) ровно три выстрела; б) не менее трех выстрелов; в) не более трех выстрелов?
Решение. а) Пусть событие А – стрелок произвел три выстрела. Согласно условию задачи, речь идет о событии «» («–» – промах, «» – попадание). Т.о, попадание при ом выстреле, промах при ом выстреле, поэтому
События независимы.
б) Не менее трех выстрелов придется сделать, если в каждом из первых двух выстрелов будет попадание в цель, т.е. «».
Событие В – стрелок произведет не менее трех выстрелов.
в) Событие С – стрелок произведет не более трех выстрелов. Рассмотрим противоположное событие стрелок произведет более трех выстрелов:
Пример 7. Вероятность того, что деталь окажется первосортной равна 0,95 при условии, что она изготовлена на первом станке и 0,8 при условии, что она изготовлена на втором станке. На первом станке изготовлено три, а на втором – четыре детали. Определить вероятность того, что все эти детали первосортные.
Решение. Событие А – все детали первосортные.
Событие три детали, изготовленные на первом станке, первосортные.
Событие четыре детали, изготовленные на втором станке, первосортные.
независимые события.