7. Примеры решения задач на вероятность появления хотя бы одного события.

Если имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Пример 15. Вероятности получения дохода частным инвестором при сложении средств в ПИФ №1, 2, 3 таковы: Найти вероятность получения инвестором прибыли хотя бы с одной инвестиции в конкретной биржевой день.

Решение. Событие А – получение хотя бы с одной инвестиции в конкретной биржевой день.

Событие получение инвестиции от ПИФi, .

События независимы в совокупности, т.к. получение дохода при вложении денег в каждый из трех фондов не зависит от результатов вложения средств в другие фонды.

где вероятности неполучения дохода, т.е. вероятности событий, противоположных .

Вычислим:

Пример 16. В компьютерном классе имеет 4 принтера. Для каждого принтера вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один принтер.

Решение. Событие А – хотя бы один принтер работает в данный момент.

События «принтер не работает» и «принтер не работает в данный момент» противоположны и сумма их вероятностей равна 1.

Искомая вероятность:

Пример 17. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

Решение. Событие А – попадание в десятку хотя бы один раз.

Событие попадание в десятку при i-ом выстреле, .

События независимы в совокупности, поэтому примени формулу где

По условию значит

Прологарифмируем это неравенство по основанию е, получим:

Т.к. , то

Итак, значит надо сделать не менее 2 выстрелов.

8. Задачи тест-тренинга.

1. Три баскетболиста производят по одному броску мяча. Пусть событие попадание в корзину i-ым баскетболистом, промах i-ым баскетболистом, . Выразить через и следующие события: а) попал в корзину третий баскетболист; б) попал только один; в) попали только два; г) попали все три; д) все трое промахнулись; е) попали, по крайней мере, двое.

2. Совместны ил события А и В: а) в офисе три стола; А – письмо положили на стол; событие В – письмо положили на третий стол; б) А – трехзначное число кратно 2; В – трехзначное число кратно 7; в) А – на верхней грани игральной кости выпало четное число; В – выпало нечетное число; г) стрелок по цели сделал два выстрела; А – попал в цель при первом выстреле; В – попал в цель при втором выстреле; д) в урне 3 белых и 4 желтых шара; А – вынут белый шар; В – вынут желтый шар.

3. Назвать событие противоположное событию А: а) принтер в данный момент работает; б) получил прибыль от сделки; в) выпала решка при бросании монеты; г) при выстреле по мишени стрелок промахнулся; д) проект отклонен; е) студент сдал зачет.

4. Назвать полную группу событий: а) при одной игре в шахматы; б) при броске двух монет; в) при выполнении баскетболистом трех бросков.

5. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша по одному билету?

6. В двух студенческих группах есть пловцы – разрядники, в первой группе – пятеро человек, во второй – трое. Для участи в соревнованиях из их числа наудачу отбирают трех человек. Найти вероятность того, что все они окажутся из одной группы. Ответ: 0,1964.

7. Имеется пять билетов стоимостью 10 руб, три билета стоимостью 5 руб и два по 15 руб. Наугад берутся два билета одновременно. Определить вероятность того, что эти билеты имеют одинаковую стоимость. Ответ: 0,3111.

8. Вероятность того, что инвестиционный проект будет принят, равна 0,85. Найти вероятность того, что проект будет отклонен. Ответ: 0,15.

9. Вероятность падения курса акций, определенная на основе длительного исследования, равна 0,3, вероятность роста – 0,6. Найти вероятность того, что курс акций не изменится. Ответ: 0,1.

10. Вероятность сдачи зачета студентом с высоким рейтингом равна 0,95, с пограничным рейтингом – 0,6. Найти вероятность того, что оба студента сдадут зачет. Ответ: 0,57.

11. В коробке 15 карандашей, из которых 4 синих, 5 красных и 6 желтых. Из коробки последовательно вынимают три шара, без возвращения. Найти вероятность того, что первый шар красный, а второй и третий – желтые. Ответ: 0,525.

12. Слово «инвестиция» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешены. 5 карточек извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово «вести»? Ответ:

13. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора – автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый, равна 0,95, второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступят сигналы: а) от обоих; б) только от одного; в) по крайней мере, от двух; г) хотя бы от одного.

14. В цехе работает три станка. Вероятность отказа в течение смены для первого станка равна 0,1, для второго – 0,2, для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают: а) только один станок; б) хотя бы один станок; в) два станка. Ответ: а) 0,056; б) 0,997; в) 0,329.

15. Двое поочередно подбрасывают монету. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша каждого игрока. Ответ: и

16. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трех выстрелах. Ответ: 0,6.

17. Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,9 хотя бы один раз выпало не менее четырех очков? Ответ: 4.