4. Примеры решения задач на сложение вероятностей двух совместных событий.

Если А и В совместные события, то

.

Пример 8. Какова вероятность того, что число, выбранное наугад из всех двузначных чисел, делится хотя бы на одно из чисел 3 и 5?

Решение. Пусть событие А – двузначное число, которое делится хотя бы на одно из чисел 3 и 5.

Событие В – двузначное число делится на 3.

Событие С – двузначное число делится на 5.

.

События В и С – совместные (например, число 45 делится и на 3 и на 5).

Вычислим

т.е. всего двузначных чисел – 90 (наименьшее 10, наибольшее – 99).

Двузначных чисел кратных 3 будет кратных 5 будет

Итак,

Пример 9. Ведется стрельба по мишени двумя стрелками. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вероятность поражения мишени вторым – 0,7. Какова вероятность поражения мишени?

Решение. Пусть событие С – мишень поражена.

Событие А – цель поражена первым стрелком.

Событие В – цель поражена вторым стрелком.

Цель будет поражена, если в нее попадет или первый или второй или оба вместе стрелка, следовательно, события В и С совместные и независимые.

5. Примеры решения задач на вычисление условной вероятности.

Если события А и В зависимы, то

Для трех событий:

Для п событий:

Примечание. Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 10. Из 25 экзаменационных билетов студент подготовил только 20. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется «счастливым».

Решение. Событие А – первый билет оказался «не счастливым».

Событие В – второй билет оказался «счастливым».

По условию надо определить, какова вероятность наступления события В, если произошло событие А, т.е. .

После извлечения первого билета осталось 24 билета, из них 19 «счастливых», следовательно, по классическому определению вероятности

Пример 11. Студент знает ответы на 25 вопросов из 30. Вопросы задаются последовательно, один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса студент знает.

Решение. Событие А – студент знает все три подряд заданных вопроса.

Событие студент знает i-ый вопрос, .

События зависимые, т.к. вероятность события вычисляется в предположении, что произошло событие , а вероятность события в предположении, что произошли события и . Следовательно,

Вычислим:

Пример 12. На десяти карточках написаны цифры от 0 до 9. Определить вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.

Решение. Событие D – подряд выбранные цифры составят число 357.

Событие А – первая цифра 3.

Событие В – вторая цифра 5.

Событие С – третья цифра 7.

События А, В и С – зависимые.

6. Примеры задач на сложение и умножение вероятностей.

Пример 13. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует корректировки в работе, равна 0,3, для второго – 0,5, а для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа потребуется корректировка: а) второго станка; б) двух станков; в) хотя бы одного станка.

Решение. а) Событие А – корректировка работы второго станка; корректировка работы i-го станка, ; не потребуется корректировка работы i-го станка.

События и независимы в совокупности.

б) Событие В – потребуется корректировка только двух станков (безразлично каких).

Следовательно, событие В можно представить как или

События несовместны и

в) Событие С – потребуется корректировка работы хотя бы одного станка, т.е. или одного, или двух, или трех.

Рассмотрим противоположное событие ни один станок не потребует корректировки.

Т.к. то

Пример 14. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Чему равна вероятность выигрыша у каждого игрока, если каждый делает не более двух бросков (один или два)?

Решение. а) Событие С – выиграл первый игрок.

Событие выпал греб при i-ом бросании монеты первым игроком, .

Событие выпал герб при i-ом бросании монеты вторым игроком.

и и независимы в совокупности.

.

вероятность выигрыша первого игрока.

б) Событие D – выиграл второй игрок.

вероятность выигрыша второго игрока.