3. Примеры решения задач на непосредственное вычисление вероятностей.

Непосредственное вычисление вероятностей выполняется по формуле:

где п – общее число исходов

число исходов

благоприятствующих событию А.

Пример 14. На столе лежит 8 маркеров, 5 из них пишут хорошо. Наугад берется один маркер. Какова вероятность того, что будет выбран хороший маркер?

Решение. Опыт: выбор наугад маркера.

Событие А – выбран хороший маркер. Так как выбрать можно любой маркер из 8, то число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов будет 8, т.е. .

Хороших маркеров 5, значит благоприятствующих исходов событию А будет 5, т.е. . Рассчитаем .

Пример 15. В книге 456 страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3?

Решение. Опыт: случайно открыта книга на i-ой странице, .

Событие А – номер случайно открытой страницы оканчивается цифрой 3.

Определим п. Так как книгу можно открыть на любой странице, то число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов .

Определим т. В каждом десятке одна страница оканчивается на 3, всего десятков 45. Кроме того, среди последних 6 страниц, есть одна, оканчивающаяся на 4, значит, всех благоприятствующих исходов будет . Рассчитаем .

Пример 16. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, М, О, С, К. Какова вероятность того, что

а) разложив их в ряду, получим слово МОСКВА;

б) разложив в ряд три случайно отобранные карточки, получим слово СОК.

Решение. а) Опыт: 6 букв А, В, М, О, С, К разложили в ряд.

Событие А – получили слово МОСКВА.

; .

б) Опыт: разложили в ряд три случайно отобранные карточки.

Событие В – получили слово СОК.

; .

Пример 17. В урне 10 шаров с номерами от 1 до 10. Какова вероятность вынуть шар,

а) номер которого не превышает 8;

б) номер которого не меньше 7;

в) номер которого не превышает 10;

г) номер которого 15.

Решение. Опыт: наугад из урны вынут шар.

а) Событие А – номер шара не превышает 8.

.

б) Событие В – номер шара не меньше 7.

.

в) Событие С – номер шара не превышает 10.

т.к. номер любого шара, находящегося в урне, не превышает 10; , т.е. событие С – достоверное.

г) Событие D – номер шара 15.

т.к. в урне нет шара с номером 15; , т.е. событие D – невозможное.

Пример 18. Изготовлено 20 изделий, 12 из которых отличного качества. Наудачу отобрано 5 изделий. Какова вероятность того, что из этих 5 изделий:

а) все – отличного качества;

б) три – с браком.

Решение. Опыт: наудачу отобраны 5 изделий.

а) Событие А – среди 5 отобранных изделий все отличного качества.

Определим п. Число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов (число всевозможных сочетаний 5 изделий из 20, порядок отбора изделий не существенен).

.

Определим т. Число благоприятствующих исходов (число всевозможных сочетаний 5 изделий из 12).

б) Событие В – среди пяти отобранных изделий два отличного качества и три с браком.

.

Определим т. Отобранные изделия включают два отличного качества и три с браком.

Два изделия отличного качества могут появиться как сочетания из 12 по 2, т.е. , а три изделия с браком – как сочетания из по 3, т.е. .

Кроме того, каждая пара изделий отличного качества может рассматриваться с каждой тройкой изделий с браком, следовательно:

.

Вычислим ; .