2. Примеры задач на вычисление условной вероятности гипотезы после того, как событие произошло.

Пример 7. Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,25, ко второму – 0,26, к третьему – 0,49. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым – 0,98, третьим – 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено первым, вторым, третьим товароведом.

Решение. Событие А – проверено стандартное изделие. Гипотезы:

первым товароведом;

вторым товароведом;

третьим товароведом.

Найдем , используя формулу Байеса:

Решение оформим с помощью таблицы:

Гипотезы
	0,25	0,95	0,24
	0,26	0,98	0,26
	0,49	0,97	0,48
	1,00		0,98	1

3. Задачи тест-тренинга.

1. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями: Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9, 0,8, 0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов. Ответ: 0,77.

2. Имеется три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных шара, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн, и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным? Ответ: 0,292.

3. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году. Ответ: 0,66.

4. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит? Ответ: 0,0715.

5. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех параллельных группах. В первой группе из 30 студентов на «5» написали 8 человек, во второй – из 28 студентов написали 6 человек, в третьей – из 27 студентов написали 9 человек. Найти вероятность того, что наудачу взятая работа при повторной проверке окажется выполненной на «5». Ответ:

6. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,03, а для второго – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей первого станка поступает в 2 раза больше, чем со второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной? Ответ: 0,9733.

7. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных деталей, второй – 99%, а третий – 97%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом, а производительность автоматов одинакова. Ответ: 0,2667.

8. Количество продукции, поступающей на механическую обработку из трех литейных цехов, определяется соотношением 3:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов, соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая отливка оказалась годной. Какова вероятность того, что она отлита во втором цехе? Ответ: 0,3371.

9. В спартакиаде участвуют из первой группы четыре студента, из второй – шесть и из третьей – пять студентов. Студент первой группы попадет в сборную института с вероятностью 0,9, студент второй группы – 0,7, а студент третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. Вероятнее всего, из какой он группы? Ответ: из второй группы.

10. Три охотника одновременно и независимо стреляют в кабана. Известно, что первый попадает с вероятностью 0,8, второй – 0,4, а третий – 0,2. Кабан убит, и в нем обнаружены две пули. Как делить кабана? Ответ:

11. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, а при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста равна 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста? Ответ: 0,467.

12. В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй 4 голубых и 2 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар голубой? Предположим, что шар, взятый из второй урны, оказался голубым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую переложены 2 голубых шара? Ответ: .

13. Два из трех независимо работающих элемента вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,4, 0,3. Ответ: 0,3.

14. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) или . По данным статистики В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях? Оформить решение в форме таблицы. Ответ: