Экспериментальная часть

Приборы и оборудование

Функциональная схема представлена на рис. 9.5, где:

ИП – источник питания;

ПИ – преобразователь импульсов;

PQ – звуковой генератор;

PO – осциллограф;

МЕ – магазин емкостей;

ФПЭ-13 – модуль.

Метод измерений

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы – рис. 9.4, где обозначены знаки зарядов с обкладок конденсаторов в контурах и положительное направление тока: С_в=С₁₂; L₁=L₂=L, причем для наблюдения биений важно, чтобы I₁ и I₂ были сонаправлены. Для двух LC – контуров, соединенных по схеме, показанной на рис. 9.4, можно записать два уравнения, описывающих колебания зарядов Q в контурах:

(9.1)

(9.2)

Подставляя , получаем:

(9.3)

(9.4)

Получилось довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написать новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (9.3) и (9.4).

Сложив эти уравнения, получаем:

(9.5)

Разность (9.3) и (9.4) имеет вид

(9.6)

С помощью проведенных математических операций удалось свести уравнения (9.3) и (9.4) к более простым, относительно переменных (Q₁+Q₂) и (Q₁-Q₂).

Если при t=0 переменная (Q₁+Q₂) имеет значение (Q₁+Q₂)₀, то решение уравнения (9.5) имеет вид

(9.7)

частота равна частоте собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (9.6) приобретает вид:

(9.8)

где ; (Q₁-Q₂)₀ – значение при t=0 переменной (Q₁-Q₂).

Два вида движения, описываемые уравнениями типа (9.7) и (9.8), называются нормальными модами колебаний системы связанных контуров. В данном случае они описывают колебания тока в системе двух связанных электрических контуров. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание тока, при котором амплитуда колебаний каждого заряда остается неизменной.

Если вывести из положения равновесия один из контуров, то результирующим колебанием будет колебание двух нормальных мод колебаний. При Q₂₀=0 из (9.7) и (9.8) получаем:

; (13.9)

. (9.10)

Используя известные тригонометрические тождества:

; (9.11)

; (9.12)

можно записать уравнения 9.9 и 9.10 в виде:

; (9.13)

. (9.14)

Вид функций Q₁(t) и Q₂(t) по уравнениям 9.13 и 9.14 показан на рис. 9.2. При t=0 амплитуда Q₂ равна нулю. Затем амплитуда Q₂ увеличивается, а амплитуда Q₁ падает до тех пор, пока в момент времени, определенный из соотношения амплитуда Q₁ не станет минимальной, а амплитуда Q₂ достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 9.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения.

При t=0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость С₁₂ энергия постепенно передается от контура 1 к контору 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией

(9.15)

Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении и на емкости С₁₂ нет заряда. При этом частота ω⁺ остается такой же, как для несвязанных контуров, т.е. . В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак «–»), емкость С₁₂ заряжена, что увеличивает частоту колебаний, т.е. .

Следует отметить, что для того, чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту и, кроме того, предполагается, что С₁₂ велика по сравнению с С, то есть <<1 («слабая связь»). Тогда выражение 9.15 можно преобразовать следующим образом

(9.16)

Полученное значение частоты обмена ω_обм (имеется в виду обмен энергией), или частоты “биений” ω_биен=ω_обм можно изменять, настраивая систему контуров, путем изменения номиналов элементов С, С₁₂, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.

Исследование биений, то есть обмена энергий в связанных контурах и является одной из практических задач данной лабораторной работы.

Экспериментальная установка

П ринцип работы модуля ФПЭ-13 основан на электрической связи двух одинаковых колебательных контуров LC в условиях балансировки контуров. Колебания возбуждаются с помощью генератора Г3-118. Прямоугольный импульс подается на плату ФПЭ-13. На плате ФПЭ-13 установлены два LC- контура, которые связаны внешней емкостной связью. Для отсечки источника сигнала во время паузы от первичного контура (L1C1) в цепь питания включен кремниевый диод VD1. В промежутках между прямоугольными импульсами возбуждаемые в контуре L1C1 затухающие колебания через внешнюю емкостную связь (50-80пф) передаются в контур (L2C2), где накладываются на собственные колебания. На экране осциллографа отображается периодическое возрастание и убывание амплитуды затухающих колебаний, т.е. биение колебаний (рис. 9.7).

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с работой звукового генератора (в режиме генерации синусоидальных колебаний) и электронного осциллографа.

2. Подготовить приборы к работе:

а) с помощью магазина емкостей МЕ установить С=4∙10^-2 мкФ;

б) установить следующие параметры выходного напряжения звукового генератора: частота – 200 Гц, величина напряжения – 2-4 В, режим работы – генерация синусоидальных колебаний;

в) включить развертку электронного осциллографа с запуском от усилителя и установить частоту развертки, удобную для наблюдения сигналов частотой 200 Гц;

г) усиление по оси У электронного осциллографа установить таким, чтобы было возможно измерить переменное напряжение до 5 В.

3. Включить лабораторный стенд и приборы. Регулировкой ручек управления на панели осциллографа добиться стабильной картины процесса «биений» в контурах.

4. Вычислить Т_рез для одного из контуров (резонансные частоты контуров близки) по формуле Томсона . L=60 Гн. С=10000 пф.

5. Изменяя величину емкости конденсатора связи С₁₂ на магазине емкостей от 4∙10^-2 до 4∙10^-1 мкФ, измерить периоды «биений». Т_σ определяется следующим образом: подсчитывается количество периодов (количество максимумов), укладывающихся в одно биение (число – N) – рис. 9.7. Эта величина умножается на Т_рез вычисленное по формуле Томсона, то есть . Полученные результаты записать в табл. 9.1. По полученным таким образом значениям Т_σ строится график зависимости Т_σ=f(C₁₂).

6. Провести расчет Т_{σ теор} по и сравнить его с экспериментальными данными.

Таблица 9.1

С12, мкФ
N
Тб(эксп),
Тб(теор),