- •1. Квантовые оптические явления
- •1.1. Фотоны. Энергия, масса и импульс фотонов
- •1.2. Тепловое излучение Понятие о равновесном тепловом излучении
- •Характеристики теплового излучения
- •Законы теплового излучения Закон Кирхгофа
- •Закон Стефана-Больцмана
- •Законы Вина
- •Закон смещения Вина.
- •Формула Рэлея-Джинса
- •Формула Планка
- •1.3. Фотоэффект
- •Основные законы фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна
- •Внутренний фотоэффект
- •Вентильный фотоэффект
- •1.4. Давление света
- •1.5. Эффект Комптона
- •2. Тормозное рентгеновское излучение
- •Опыт Ботэ
- •2. Физика атома
- •2.1. Спектры. Закономерности в атомных спектрах
- •Модели атома Томсона и Резерфорда
- •Постулаты Бора
- •Применение теории Бора к атому водорода
- •Опыты Франка и Герца
- •Достоинства и недостатки теории Бора
- •2.2. Люминесценция
- •Применение люминесценции
- •3. Физика атомного ядра и элементарных частиц
- •3.1. Состав и характеристики атомного ядра
- •3.2. Дефект массы и энергия связи ядра
- •3.3. Ядерные силы
- •3.4. Радиоактивность
- •3.5. Правила радиоактивного смещения
- •3.6. Закон радиоактивного распада. Активность
- •3.7. Методы регистрации радиоактивного излучения
- •3.8. Ядерные реакции
- •3.9. Термоядерные реакции
- •4. Элементы квантовой механики
- •4.1.Гипотеза Луи де Бройля
- •4.2. Уравнение Шредингера
- •4.3. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»
- •4.4. Спин электрона. Принцип Паули
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •Квантовая оптика. Атомная и ядерная физика
4.2. Уравнение Шредингера
Микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому классическая механика не может дать правильного описания их поведения. Квантовая механика создана Э.Шредингером, В. Гайзенбергом, П. Дираком и другими учеными. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики в 1926 году сформулировано Э. Шредингером.
Нестационарное (общее) уравнение Шредингера:
,
где – оператор Лапласа (записан в декартовых координатах); – потенциальная энергия частицы в силовом поле; – масса микрочастицы; ; – постоянная Планка; – мнимая единица. Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью.
Рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси , имеет вид:
.
Это выражение в комплексном виде: , где – полная энергия частицы; – длина волны; – волновое число.
Получим для одномерного случая свободно движущейся частицы волновую функцию:
.
Зависимость энергии от импульса:
. (26)
Дифференцируя функцию один раз по и дважды по , получаем:
; .
Из этих соотношений найдем и через функцию и ее производную:
, .
Подставляя эти выражения в (26), получаем дифференциальное уравнение:
.
Если направление волны не совпадает с осью , фаза колебаний будет зависеть от координат (). Для этого случая уравнение имеет вид:
.
Учитывая (26), получаем стационарное уравнение для свободной частицы:
.
Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера для случая , так как мы рассматривали свободную частицу.
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией , то полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий.
Полная энергия микрочастицы:
,
где и не зависит явно от времени.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
.
4.3. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси ) (рис.21):
Поскольку функция зависит от одной координаты , уравнение Шредингера имеет вид:
.
Так как «стенки» ямы бесконечно высокие, то частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности функции на границах «ямы» волновая функция также должна обращаться в нуль.
Следовательно, граничные условия:
|
(27)
(28) |
В пределах «ямы» уравнение Шредингера имеет вид:
.
Введем обозначение , тогда получим уравнение, известное из теории колебаний (уравнение свободных незатухающих колебаний): .
Решение такого уравнения имеет вид:
. (29)
С учетом условия (27) из уравнения (29) следует: . С учетом условия (28) из уравнения (29) следует: , что возможно лишь в случаях (=1, 2, 3…).
Следовательно, решение уравнения Шредингера имеет физический смысл не при всех значениях энергии , а лишь при значениях энергий удовлетворяющих соотношению:
.
Поскольку , получаем , т.е.
.
Отсюда (=1,2,3…).
Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа . Следовательно, энергия частицы не может быть произвольной, а принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии называются уровнями энергии, а число , определяющее энергетические уровни частицы, называется квантовым числом.
Оценим энергетический интервал между двумя соседними уровнями:
,
,
.
Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию частицы никаких ограничений не накладывает.
Определим коэффициент в уравнении
.
С учетом
. (30)
Для нахождения коэффициента воспользуемся условием нормировки:
.
Подставив в это выражение (30), получаем:
.
Значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное 1/2) на длину промежутка . В результате получаем:
, .
С обственные функции имеют вид:
.
Графики этой функции, соответствующие уровням энергии при =1,2,3,4, изображены на рис.22. Из рисунка видно, что частица в состоянии с =2 не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половинах ямы. Такое поведение частицы не совместимо с представлением о траекториях. Согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.