КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Учебное пособие

Pостов-на-Дону 2009

УДК 530.1

С 74

Авторы: Егорова С.И., Егоров И.Н., Кунаков В.С., Лемешко Г.Ф., Наследников Ю.М.

Колебания и волны: Учеб. пособие.- Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ,2009.- 55 с.

В данном пособии рассматривается теория механических и электрических колебаний как единый процесс. Колебания излагаются в рамках модели одномерного гармонического осциллятора.

Учебное пособие (включая электронную версию) предназначено для студентов, изучающих физику, для самостоятельной работы в период подготовки к рейтинговому контролю и экзамену, а также при подготовке к лабораторным работам.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета.

Научный редактор д-р техн. наук, проф. Кунаков В.С..

©Егорова С.И., Егоров И.Н., Кунаков В.С. Лемешко Г.Ф., Наследников Ю.М.

.

©Издательский центр ДГТУ, 2009

2

Предисловие

Учебное пособие составлено в соответствии с рабочей программой по физике. Оно не может и не должно заменить учебник и предназначено для того, чтобы помочь студентам при подготовке к лабораторным работам и экзаменам.

Колебания излагаются в рамках модели одномерного гармонического осциллятора. Тем самым задаѐтся общий подход к теории колебаний различной физической природы.

Для упрощения вывода решения дифференциального уравнения затухающих колебаний введѐн энергетический подход к рассеянию энергии.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний проводится геометрически через векторные диаграммы, что позволяет избежать сложных математических выкладок.

При рассмотрении автоколебаний особое внимание уделяется выделению основных элементов автоколебательной системы.

Общая теория колебаний позволяет студентам осознать значимость теории колебаний не только в физике и технике, но и в понятии цикла, как основы мироздания.

3

Общие сведения о колебаниях. Одномерный классический гармонический

осциллятор

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Рассмотрим механические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Силу, под действием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой, так как она стремится вернуть тело или материальную точку в положение равновесия.

Свободные колебания совершаются системой, выведенной из положения равновесия.

Собственными называются свободные колебания без учѐта сил сопротивления (без затухания).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счѐт энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счѐт внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника)

4

Уравнение (5) является дифференциальным уравнением

гармонических колебаний. Это уравнение является общим уравнением, описывающим гармонические колебания. Его решением являются функции (1) или (2). Следовательно, можно сказать, что гармоническими называются колебания, совершаемые по закону синуса или косинуса.

Колебательные системы, описываемые уравнением (5)

называются одномерным классическим гармоническим осциллятором. Модель одномерного классического гармонического осциллятора оказывается справедливой не только для механических, но и других видов собственных незатухающих колебаний. В различных разделах физики используется единый математический язык описания гармонических колебаний.

Рассмотрим конкретные примеры гармонических осцилляторов в механике.

Пружинный маятник (рис. 3)

Применим к движению груза на пружине второй закон Ньютона:

7

Мы нашли собственную циклическую частоту (7) и период колебаний (8) груза на пружине.

Физический маятник (рис. 4)

Физическим маятником называется твердое тело, колеблющееся относительно неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести. При небольших углах отклонения ( -

мал) физический маятник совершает гармонические колебания. Сила, возвращающая маятник в положение равновесия, представляет собой

составляющую силы тяжести, приложенную в точке C :

относительно оси O равен:

mg

8

масса, сосредоточенная в одной точке. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае

математического маятника d l, I ml 2 ,где l -длина математического маятника. Тогда формулы (11) и (12) запишутся в виде:

Сравнивая формулы (12) и (14), заключаем, что физический маятник колеблется с периодом математического маятника, длина которого

l = mdI ,

называется приведенной длиной физического маятника.

Сложение колебаний

Векторная диаграмма

Гармонические колебания удобно представлять в виде векторных (круговых) диаграмм. В этом случае гармоническое колебание совершает проекция радиус-вектора,