Розділ 4. Постановка та проведення основного експерименту.

Тема 13. Плани експерименту першого порядку.

Задачі основного експерименту. Повний факторний експеримент. Методика складання планів експерименту першого порядку. Рекомендації щодо вибору нульового рівня та інтервалів варіювання змінних об’єкту.

Задачами основного експерименту є:

- отримання математичної моделі об’єкту дослідження у вигляді лінійної моделі;

- пошук оптимальної області функціонування об’єкту за лінійною моделлю;

- отримання математичної моделі об’єкту в області оптимуму у вигляді нелінійної моделі;

- пошук оптимальної координати функціонування об’єкту.

Факторний експеримент за планами першого порядку є першим етапом основного експерименту. Його сутність полягає в одночасному зміні всіх факторів, тобто параметрів об’єкту дослідження, за визначеним планом; репрезентації математичної моделі у вигляді лінійного поліному і дослідженні його методами математичної статистики.

Наведемо деякі основні терміни, які використовуються при подальшому розгляді матеріалу.

Рівнем фактору називають чітко визначене його значення, яке буде фіксуватися при проведенні експерименту. Наприклад, це температура 60 і 80⁰С або тиск 40 і 120Па та інше. Середні значення інтервалів зміни факторів називають нульовим рівнем. Для наведених прикладів це температура 70⁰С і тиск 80Па. Інтервал варіювання – це таке значення фактору в натуральних одиницях, тобто ⁰С, Па, кг, і т. д., додавання якого до нульового рівня дає верхній, а відіймання дає нижній рівень фактору. Для наведеного прикладу це температура 10⁰С і тиск 40Па. Верхній і нижній рівні фактору позначають символами " + 1” і “ – 1”, нульовий рівень “ 0 ”, що фактично відповідає кодуванню факторів за формулою: , де Х_і0 і Х_і – нульовий та фактичний рівень фактору; ΔХ_і – інтервал його варіювання.

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називають повним факторним експериментом (ПФЕ). Якщо n факторів варіюють на двох рівнях, тобто на рівнях " + 1” і “ – 1”, то отримують ПФЕ типу 2ⁿ; якщо варіювання здійснюється на трьох рівнях ( + 1; 0; - 1), то кількість дослідів в такому повному факторному експерименті дорівнює 3ⁿ і т. д.

Загальні рекомендації до планування факторного експерименту першого порядку наступні:

- нульовий рівень плану бажано вибирати якомога ближче до оптимальної області. Це дозволить зменшити витрати часу і інших ресурсів на пошук оптимальної області при використанні отриманої лінійної моделі на другому етапі основного експерименту. Для такого вибору може бути використана апріорна інформація, результати попередніх експериментів на об’єкті або на лабораторній установці, досвід дослідника, знання фахівців та інше.

- інтервал варіювання фактору повинен перевищувати подвоєне середньоквадратичне відхилення даного параметра, тобто повинна дотримуватися нерівність: 2S_xi < ΔХ_і < (Х_{і max} – X_{i min}), де (Х_{і max} – X_{i min}) - область визначення параметру Х_і.

В протилежному випадку на результати експерименту домінуючий вплив будуть чинити випадкові процеси і отримати адекватну модель буде неможливо. Значення середньоквадратичного відхилення беруть з результатів попередніх досліджень об’єкту.

Побудова матриці планування здійснюється із залученням прийому чергування знаків. Розглянемо цей прийом на прикладах складання планів повного факторного експерименту першого порядку для двох рівнів. Для двох факторів (n = 2) матриця в безрозмірних одиницях буде мати вигляд табл. з загальною кількістю дослідів 2ⁿ = 2² = 4.

План ПФЕ першого порядку для n = 2

№№ дослідів	х0	х1	х2	yu1	yu2	…….
1	+1	+1	+1	y11	y12	…….
2	+1	-1	+1	y21	y22	…….
3	+1	+1	-1	y31	y32	…….
4	+1	-1	-1	y41	y42	…….

Для чотирьох факторів (n = 4) кількість дослідів буде складати 2⁴ = 16 і матриця плану буде мати вигляд:

План ПФЕ першого порядку для n = 4

№№ дослідів	x0	х1	x2	х3	х4	yu1	yu2	…….	yu m
1	+1	+1	+1	+1	+1	y11	y12	…….	y1m
2	+1	-1	+1	+1	+1	y21	y22	…….	y2m
3	+1	+1	-1	+1	+1	y31	y32	…….	y3m
4	+1	-1	-1	+1	+1	y41	y42	…….	y4m
5	+1	+1	+1	-1	+1	y51	y52	…….	y5m
6	+1	-1	+1	-1	+1	y61	y62	…….	y6m
7	+1	+1	-1	-1	+1	y71	y72	…….	y7m
8	+1	-1	-1	-1	+1	y81	y82	…….	y8m
9	+1	+1	+1	+1	-1	y91	y92	…….	y9m
10	+1	-1	+1	+1	-1	y10 1	y10 2	…….	y10m
11	+1	+1	-1	+1	-1	y11 1	y11 2	…….	y11m
12	+1	-1	-1	+1	-1	y12 1	y12 2	…….	y12m
13	+1	+1	+1	-1	-1	y13 1	y13 2	…….	y13m
14	+1	-1	+1	-1	-1	y14 1	y14 2	…….	y14m
15	+1	+1	-1	-1	-1	y15 1	y15 2	…….	y15m
16	+1	-1	-1	-1	-1	y16 1	y16 2	…….	y16m

Тобто, за правилом чергування знаків в першому стовпчику знаки не змінюються. Це стовпчик фіктивної змінної х₀, який використовується при подальшій обробці результатів дослідів, зокрема, для визначення вільного члена рівняння регресії. Звичайно цей стовпчик в робочій матриці плану не наводять.

В другому стовпчику знаки змінюються почергово; в третьому – через 2; в четвертому – через 4 і так далі за показником ступенів 2.

Якщо рівень похибки в дослідах незначний у порівнянні зі значенням параметру, то план експерименту реалізують один раз і переходять до обробки експериментальних даних. Якщо в дослідах спостерігаються значні похибки, то виконують декілька (m) паралельних дослідів при однакових співвідношеннях факторів об’єкту, тобто, повторюють дослід m разів і знаходять середні значення вихідного параметру в кожному з цих дослідів, що дозволяє знизити похибку експерименту. (Як вже зазначалося раніш, за законом зростання точності в теорії випадкових помилок похибка “m” вимірів в разів менше, ніж похибка поодинокого виміру).

Розроблений план реалізують на об’єкті дослідження і починають обробку результатів експерименту.