Тема 15. Плани експерименту другого порядку.
Задачі факторного експерименту другого порядку. Принципи побудови та структура ортогональних та рототабельних композиційних планів. Визначення кількості «нульових» точок та величини «зоряного плеча».
Плани
другого порядку використовують для
опису області оптимуму поліномами
другого порядку вигляду:
.
Для отримання такої моделі можна використати плани на трьох рівнях 3n. Але при кількості факторів n > 4 вони стають неекономічними внаслідок великої кількості дослідів. Наприклад, реалізація такого плану для n = 5 потребує виконання N = 35 = 243 дослідів.
Боксом і Уілсоном було запропоновано доповнювати дворівневий план ПФЕ “зоряними” точками. Загальна кількість дослідів за такими планами складає:
N = 2n + 2n + N0, де 2n – кількість дослідів за ПФЕ першого порядку; 2n – кількість “зоряних” точок; N0 – кількість “нульових” точок в центрі плану.
Вони є більш економічними, ніж плани 3n. Наприклад, вже при n = 4 в плані 3n кількість дослідів складає N = 34 = 81, у той час, як при реалізації запропонованих планів N = 24 + 2*4 + 1 = 25 (при N0 = 1). Вибір плеча “зоряних” точок і числа “нульових” точок залежить від вибраного критерію оптимальності плану. Принцип побудови таких планів на прикладі n = 2 пояснює рис. 11 і табл.
Матриця композиційного плану другого порядку для n = 2
|
№№ дослідів |
х0 |
х1 |
х2 |
Змінна стану у |
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
у1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
у2 |
|
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
у3 |
|
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
у4 |
|
5 |
+1 |
+α |
0 |
у5 |
|
6 |
+1 |
-α |
0 |
у6 |
|
7 |
+1 |
0 |
+α |
у7 |
|
8 |
+1 |
0 |
-α |
у8 |
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
у9 |
Точки 1, 2, 3, 4 утворюють ПФЕ 2n; точки 5, 6, 7, 8 - “зоряні” точки з координатами (±α; 0) та (0; ±α) ; в центрі плану знаходиться точка нульового рівня з координатами (0; 0).
Найбільш широкого застосування набули ортогональні та рототабельні плани другого порядку.
В
ортогональних планах
приймають кількість дослідів в центрі
плану N0
=1; величину плеча “зоряних” точок
знаходять з відповідних таблиць.
Наприклад, для n = 2; α = 1,0; для n = 3; α =
1,215; для n = 4; α = 1,414. Окрім того, в план
вводять додаткові кодовані
змінні:
.
Матриця такого плану для n = 3 наведена в табл.
Матриця ортогонального композиційного плану для n = 3
|
№№ |
х0 |
План |
х1х2 |
х1х3 |
х2х3 |
У |
|||||||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х1/ |
х2/ |
х3/ |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
у1 |
||||
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
у2 |
||||
|
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
у3 |
||||
|
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
у4 |
||||
|
5 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
у5 |
||||
|
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
у6 |
||||
|
7 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
у7 |
||||
|
8 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
у8 |
||||
|
9 |
+1 |
1,215 |
0 |
0 |
0,746 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у9 |
||||
|
10 |
+1 |
-1,215 |
0 |
0 |
0,746 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у10 |
||||
|
11 |
+1 |
0 |
1,215 |
0 |
-0,73 |
0,746 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у11 |
||||
|
12 |
+1 |
0 |
-1,215 |
0 |
-0,73 |
0,746 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у12 |
||||
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
1,215 |
-0,73 |
-0,73 |
0,746 |
0 |
0 |
0 |
у13 |
||||
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
-1,215 |
-0,73 |
-0,73 |
0,746 |
0 |
0 |
0 |
у14 |
||||
|
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-0,73 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у15 |
||||
Наприклад, значення х1/ в дослідах 1 ÷ 8 визначаються наступним чином:
-
в дослідах 9,10:
;
-
в дослідах 11 ÷ 15:
.
Рототабельні
плани були запропоновані
Боксом та Хантером. “Зоряні” точки в
них будують на відстані від центру плану
α =
;
рекомендована кількість дослідів в
центрі плану (нульових точок) та приклад
рототабельного композиційного плану
для n = 2 факторів наведені у табл. нижче.
Параметри рототабельних планів
|
Параметр |
План |
|||
|
n = 2 |
n = 3 |
n = 4 |
n = 5 |
|
|
Число «зоряних» точок |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
Число дослідів ядра плану |
4 |
8 |
16 |
32 |
|
Число нульових точок |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
«Зоряне» плечо |
1,414 |
1,682 |
2,000 |
2,378 |
Матриця двохфакторного рототабельного композиційного плану другого порядку
|
№№ дослідів |
х0 |
План |
уu |
||||
|
Х1 |
х2 |
х12 |
х22 |
х1х2 |
|||
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
у1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
у2 |
|
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
у3 |
|
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
у4 |
|
5 |
+1 |
1,141 |
0 |
2,0 |
0 |
0 |
у5 |
|
6 |
+1 |
-1,141 |
0 |
2,0 |
0 |
0 |
у6 |
|
7 |
+1 |
0 |
1,141 |
0 |
2,0 |
0 |
у7 |
|
8 |
+1 |
0 |
-1,141 |
0 |
2,0 |
0 |
у8 |
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
у9 |
|
10 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
у10 |
|
11 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
у11 |
|
12 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
у12 |
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
у13 |