Точность замкнутых импульсных систем

 

Точность замкнутых импульсных систем, так же как и непрерывных, определяется ошибкой, возникающей в системе при отработке степенных входных сигналов, описываемых функциями вида . Рассмотрим точность системы так называемой типовой структуры, представленной на рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

К такому виду с помощью структурных преобразований можно привести большинство замкнутых импульсных систем.

Рассмотрим ошибки, возникающие в такой системе при отработке управляющего сигнала x _y (t).

Предположим, что непрерывная передаточная функция разомкнутой системы

где к – коэффициент усиления разомкнутой системы,

 - разность между числом интегрирующих и дифференцирующих звеньев в разомкнутой системе , называемая порядком, или степенью астатизма системы по управлению Заметим, что порядок астатизма равен разности числа множителей типав знаменателе и числителе дискретной передаточной функции..

Ошибку замкнутой импульсной системы при отработке управляющего воздействия можно найти по формуле

,

где, как известно из раздела ____;

- дискретные изображения управляющего сигнала, регулируемого и сигнала ошибки по управлению соответственно;

- дискретные передаточные функции разомкнутой системы и замкнутой системы ошибки по управляющему сигналу.

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы , имеющая  интегрирующих звеньев будет иметь вид

 

Дискретное изображение степенного входного сигнала порядка  имеет вид

Выражение для произвольного  приведено в [2]. Заметим, что R(0)=1 для всех .

Таким образом, ошибка замкнутой системы по управляющему воздействию может быть найдена из выражения:

Следует отметить, что найденное выражение совпадает с аналогичными выражениями ошибок по управлению в замкнутой непрерывной системе .

 

Рассмотрим ошибки, возникающие в такой системе при отработке возмущающего сигнала x В (t).

Для определения передаточной функции ошибки системы по управлению запишем уравнения в операторном виде, описывающие элементы системы (рис.1).

Воздействуя на правую и левую часть равенства оператором -преобразования, получим

откуда

Таким образом, ошибку замкнутой импульсной системы по возмущающему воздействию следует искать по формуле

Следует отметить, что выражение означает, что сначала надо перемножить непрерывные изображения, а затем от произведения переходить к дискретному изображению по Лапласу.

Приведем окончательную формулу ошибки во возмущающему воздействию, аналогичную выведенной ранее для ошибки по управлению.

где  - порядок (степень) астатизма системы по возмущению, равный разности числа интегрирующих и дифференцирующих звеньев в передаточной функции , т.е. лежащих до точки приложения возмущающего воздействия , или множителей типав знаменателе и числителе дискретной передаточной функции.

Пример

Найдем ошибки в системе, представленной на рис.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем дискретное преобразование Лапласа от выражения , приведенного в круглых скобках

Умножив полученное выражение на , получим выражение дискретной передаточной функции разомкнутой системы в виде

 

Поскольку порядок астатизма системы по управлению известен и равен =1 (числу интегрирующих звеньев), то сразу можно ответить на вопрос о величине статической ошибки по управлению, возникающей в замкнутой импульсной системе при отработке ступенчатого воздействия.

Поскольку в этом случае <, то ошибка в соответствии с выведенной формулой будет нулевой, то есть в системе с астатизмом первого порядка ступенчатый входной сигнал отрабатывается с нулевой ошибкой.

Рассчитаем кинетическую ошибку по управлению в замкнутой импульсной системе, для чего приведем выражение для к дробно-рациональному виду

 

Кинетическую ошибку по управлению можно найти по формуле

Таким образом система отрабатывает линейно возрастающий управляющий сигнал с конечной ошибкой, прямо пропорциональной уровню входного сигнала, обратно пропорциональной коэффициенту усиления разомкнутой системы

Найдем ошибку по возмущению. Порядок астатизма системы по возмущению равен =0, так как звено не содержит интегрирующих звеньев. Таким образом имеет смысл говорить о статической ошибке, поскольку система с астатизмом нулевого порядка отрабатывает единичное ступенчатое воздействие с конечной ошибкой, а линейно возрастающее – с бесконечной ошибкой.

Найдем выражение для Из выражения

Следует, что ,

Откуда

 

Таким образом система отрабатывает ступенчатый возмущающий сигнал с конечной ошибкой, прямо пропорциональной уровню входного сигнала и обратно пропорциональной коэффициенту усиления разомкнутой системы звеньев, лежащих до точки приложения возмущения.