55 . Качество импульсных систем . Пример расчета ошибок импульсной системы . Импульсные системы с конечным временем переходного процесса .

Качество импульсных систем

 

Устойчивость импульсных систем так же как и непрерывных является необходимым, но далеко не достаточным условием ее успешного функционирования. Для успешной работы системы автоматического регулирования важными показателями являются плавность протекающих в ней динамических процессов, быстродействие, точность отработки внешних сигналов т.е. то, что относится к понятиюкачествасистемы.

Рассмотрим применение известных подходов к анализу качества непрерывных систем для анализа качества импульсных систем.

 

Прямые показатели качества

Прямые показатели качества системы определяются по реакции замкнутой импульсной системы на единичную ступенчатую функцию. Такую реакцию можно получить экспериментально, подавая на вход замкнутой импульсной системы единичный скачок, т.е. ступенчатую функцию 1(t) , или расчетным путем, определяя переходную функцию замкнутой импульсной системы, описываемую передаточной функцией как реакцию на сигнал 1[mT] так, как показано в разделе .

 

Рис.1.15

Время регулирования служит основной характеристикой быстродействия системы и определяется из условия малости переходной составляющей. Время регулирования определяется от момента подачи входного воздействия, до момента, когда отклонение функции или не выходит за пределы некоторой заданной зоны (рис.1.15): , где- значение, определяемое заданной точностью системы. Обычнозадается в пределах (3-5)% от установившегося значения (рис.1.15).

,

где - передаточная функция замкнутой импульсной системы.

Установившееся значение переходной функции для статической системы :

, где k-коэффициент усиления разомкнутой импульсной системы, (k=), .

Для астатической системы :, так как .

Как видно из рис.1.15, характер переходного процесса может быть колебательным и апериодическим. Колебательный процесс характеризуется :

1. Максимальным перерегулированиемв %:

;

2. Временемдостижения первого максимума - ;

3. Числом колебаний Nза время регулирования .

Таким образом, прямыми показателями качества переходного процесса являются: время регулирования , перерегулирование ,

время достижения первого максимума , число колебаний N, которые определяются непосредственно по переходной характеристике или. .

Косвенные показатели качества

Косвенные показатели качества позволяют судить о качестве замкнутой системы по некоторым косвенным признакам, не прибегая к построению переходных характеристик. Как правило, косвенными показателями являются некоторые величины, характеризующие удаленность замкнутой (как непрерывной так и импульсной) системы от границы устойчивости.

Поскольку такую границу можно указать для различных характеристик системы в частотной области и в области корней , то косвенные показатели качества можно разделить на частотные и корневые. Рассмотрим их подробно в применении к анализу замкнутых импульсных систем.

 

Частотные методы анализа качества импульсных систем По годографу разомкнутой импульсной системы

Рассмотрим вначале показатели качества, основанные на критерии устойчивости Найквистаи определяющие удаленность амплитудно-фазовой характеристики (АФХ), или годографа Найквиста разомкнутой импульсной характеристики от критической точки с координатами

(-1,j0).Как видно из рис.1.16, удаленность замкнутой импульсной системы от границы устойчивости определяется двумя показателями :

•         запасом устойчивости по амплитуде А^*, определяющим, насколько может быть увеличена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) разомкнутой импульсной системы , чтобы замкнутая система оставалась устойчивой

•         запасом устойчивости по фазе , определяющим, насколько может быть изменена фазо-частотная характеристика (ФЧХ) разомкнутой импульсной системы , чтобы замкнутая система оставалась устойчивой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.16

 

Заметим, что наибольшее влияние на рост АЧХ разомкнутой системы оказывает увеличение коэффициента усиления, а ФЧХ изменяется только при изменении постоянных времени разомкнутой системы.

Таким образом, косвенными показателями качества импульсной системы, определяемыми по годографу разомкнутой импульсной системы являются:

1. Запас устойчивости по амплитуде А^*=1-

где ; .

2. Запас устойчивости по фазе , где - частота среза, при которой , т.е. амплитудно-частотная характеристика разомкнутой импульсной системы равна единице.

 

С определенными выше показателями качества связано понятие предельного коэффициента усиления системы K_пр– такого коэффициента усиления разомкнутой импульсной системы, при котором запас устойчивости по амплитуде становится равным нулю, т.е. замкнутая импульсная система находится на границе устойчивости.

Значение К_пр.можно найти из очевидной пропорции:

K A_

K_{пр } 1, откуда K_пр=.

Напомним, что коэффициент усиления импульсной системы с передаточной функцией и=0 определяется как ,

а при 1 как .

 

По логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой импульсной системы

Как изложено в разделе ____ , построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной систем с дискретной передаточной функцией производится после ее преобразования к соответствующей непрерывной с помощью билинейного преобразования, т.е заменой z=, или .,

где - получило название относительной, а = -- абсолютной псевдочастоты [3].

Заметим, что билинейное преобразование является приближенным, погрешность этого преобразования мала при малых значения

(при этом граничным значением является частота ), поэтому  и носит название псевдочастоты..

После вышеприведенного преобразования строятся логарифмические аиплитудно-частотные (ЛАЧХ) и фазо-частотные (ЛФЧХ) характеристики, по тем же правилам, что и соответствующие логарифмические характеристики непрерывных разомкнутых систем..

По построенным логарифмическим характеристикам можно судить об устойчивости замкнутой импульсной системы и определять запасы устойчивости по амплитуде и фазе (рис.1.17).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.17

Таким образом, косвенными показателями качества импульсной системы, определяемыми по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой импульсной системы являются:

1. 1.         Логарифмический запас устойчивости по амплитуде

L=0-L_=L(1)-L_=20lg;

где ; .

2. Запас устойчивости по фазе , где - частота среза, при которой , т.е. амплитудно-частотная характеристика разомкнутой импульсной системы равна единице.

 

 

Корневые методы анализа качества импульсных систем

Корневые методы анализа качества применительно к непрерывным системам, в основном, сводятся к решению двух задач :

•          определению области расположения корней характеристического уравнения исследуемой системы ;

•          оценке переходных процессов по найденным параметрам области расположения корней.

Следует отметить, что построение переходных процессов для замкнутых импульсных систем по имеющейся дискретной передаточной функции производится намного проще, чем для непрерывных и сводится к расчету по рекуррентным формулам (см._____ ).

Поэтому в этом разделе мы рассмотрим только одну задачу – определение минимальной удаленности корня характеристического полинома исследуемой системы от мнимой оси, называемой степенью устойчивости и характеризующей быстродействие системы. Малая степень устойчивости определяется большой постоянной времени системы и характеризует малое быстродействие системы. И, наоборот, большая степень устойчивости характеризует системы с большим быстродействием.

По аналогии с непрерывными системами степень устойчивости () импульсных систем можно определить из условия нахождения так называемой смещенной дискретной передаточной функции на границе устойчивости.

Для решения этой задачи можно воспользоваться любым критерием устойчивости импульсных систем, и в частности критерием Гурвица.

 

Системы с конечной длительностью переходного процесса

 

В общем случае, процессы в устойчивой импульсной системе протекают неограниченно долго. Однако, в отличие от непрерывных систем, возможны такие условия, при которых процесс длится конечное время.

Это возможно в том случае, когда весовая, или импульсная переходная функция импульсной системы заканчивается за некоторое конечное число тактов Т. Для дискретной передаточной функции

;

процессы описываются разностным уравнением:

Очевидно, что переходной процесс в системе завершится за (n-1) тактов, если , т.е. дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы имеем вид :

;

Ординаты весовой, или импульсной переходной функции такой системы равны , m=0,1,2….,n-1.

Определим степень устойчивости системы с конечной длительностью переходного процесса , для чего запишем выражение для смещенной дискретной передаточной функции:

Из характеристического уравнения следует, что смещенная система будет устойчива при любом значении ₀ , в том числе при ₀ =. Это значит, что

Система с конечной длительностью процесса обладает бесконечной степенью устойчивости.