42. Понятие решетчатой и модулированной функций. Дискретное преобразование Лапласа.

 

Математическим аппаратом для исследования импульсных систем является дискретное преобразование Лапласа.

х[mT]-решетчатая функция, состоит из ординат;

 

Модулированный сигнал (последовательность -функций, модулированная ординатами входного сигнала в дискретные моменты времени).

 

;

;

Сигнал -реально существующий сигнал;

;

;

D-дискретное преобразование Лапласа.

 

 

43. Свойства дискретного преобразования Лапласа.

1. 1.      Линейность.

;

2. 2.      (Преобразование Лапласа от запаздывающего аргумента). Смещение по времени.

а) Запаздывание на Sтактов.

; где i=m-S.

При нулевых начальных условиях (ННУ):

;

;

б) Упреждение m+S=i; m=i-S;

; при не ННУ

При ННУ:

;

;

3. 3.      Преобразование Лапласа от конечных разностей.

Первая разность - ;

;

При ННУ: ;

Непрерывные системы-p;

Дискретные системы-;

Вторая разность-

;

При ННУ:

;

-к-ая разность-

;

4. 4.      Преобразование от суммы:

Найдем первую разность.

;

Возьмем преобразования Лапласа от правой и левой части выражения.

;

;

5. 5.      Теорема о предельном значении.

По анологии с непрерывными системами:;

6. 6.      Сумма ординат решетчатой функции.

;

;

 

44. Дискретные передаточные функции. Дискретные типовые сигналы и их изображение.

Для непрерывных систем: при ННУ;

Для дискретной системы:

при ННУ;

1. 1.      Дельта-функция.

 

;

;

2. 2.      Единичная ступенчатая функция.(1(t))

;

Это бесконечно убывающая прогрессия: ;

3. 3.      Линейно возрастающая функция.

;

4. 4.      Экспонента.

;

;

45. Весовая и импульсная переходная характеристики дискретной системы на примере временных характеристик дискретных интегрирующегго и инерционного звеньев.

-дискретное преобразование Лапласа от весовой функции непрерывного преобразования;

;

Назовем всё это преобразование .

Весовая функция не меняется (или инвариантна) при дискретизации входного и выходного сигнала.

, условие корни А(p) простые (не кратные),m<n, гдеm-степень числителя, аn-степень знаменателя.

получаем по формуле разложения:;

;

;

;

Переходная функция.

 

;

Переходная функция импульсной системы не равна переходной функции непрерывной системы, хотя и близка к ней.

 

 

Примеры:

Построение весовой функции интегрирующего звена (дискретного).

;

;

Построение весовой функции инерционного звена.

Остаток от деления

; К₁=К/Т₁;

Поделим числитель на знаменатель: ;

Частное

 

при t=mT;

 

 

 

 

 

 

 

Построение переходной функции дискретного интегрирующего звена по разностному уравнению.

;

;

Операторное уравнение:;

;

; ННУ;

Рекурентная формула: ;

; ; и т.д.

Строим переходную функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение переходной функции инерционного звена.

; ;

;

;

Рекурентная формула: ;

; ; ;

и т.д.

;

 

46. Частотные характеристики импульсных систем.

Комплексный коэффициент усиления непрерывной системы: приp=jw;

Дискретная система: приp=jw;

Далее см. вопрос №47 с примерами построения АФХ.

 

47. 47. Примеры построения частотных характеристик дискретного интегрирующего и инерционного звеньев .

W(jw)=W(p) ç_{p = jw}

ННУ НПФ

W^*(jw)=W­­­­­^*(p) ç_{p = jw}

W(p)®w(t)®w[mT]®W­­­­­­­^*(p)

Интегрирующее звено .

W(p)=K/P ; w(t)=L^-1{K/P}=K 1(t)

w[mT]=Д{K 1[mT]}= =

 

Импульсные системы первого и второго порядков могут быть неустойчивыми .

Инерционное звено .

 

48 . Связь изображений и частотных характеристик дискретных и непрерывных сигналов . Теорема Котельникова .

49 . Связь между дискретной и непрерывной передаточной функцией . Построение годографа дискретной системы по годографу непрерывной .

Построение годографа дискретной системы по годографу непрерывной .

; .

 

 

50 . Передаточные функции дискретных замкнутых систем .

схема 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

схема 1 Þ

 

 

 

Уравнение сумматора : ;

Звена : ; ;

Свойство преобразования

 

; ;

 

; ;

 

; .

 

51 . Структурные схемы импульсных систем . Некоторые правила их преобразований .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

; ;

преобразование :

 

; ;

 

;

 

 

; ;

 

 

2-ой способ :

;

Правила структурного преобразования импульсных систем :

В непрерывной части импульсной системе можно производить любые преобразования .

Нельзя переставлять передаточную функцию и импульсный элемент .

Когда импульсный элемент стоит на входе системы , можно написать передаточную функцию непрерывной замкнутой системы , а затем проставить звездочки .

 

 

 

52 . Устойчивость импульсных систем . Необходимые и достаточные условия устойчивости .

Система устойчива , если после снятия кратковременного воздействия она возвращается в исходное состояние .

 

 

 

 

 

Если непрерывная система устойчива , то импульсная система будет также устойчива .

 

 

 

 

 

 

 

Необходимое и достаточное условие устойчивости импульсных систем .

 

-корни ; ;

 

- форма разложения .

 

; ;

 

; ; ( ) ; ;

 

; ; ; ( корни , ) .

	1)    В полосе ; полюса дискретной передаточной функции и непрерывной передаточной функции совпадают . 2)    Если непрерывная передаточная функция устойчива , то соответствующая ей дискретная передаточная функция устойчива . Для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно , чтобы полюса ее дискретной передаточной функции лежали в левой части комплексной плоскости . Система нейтральна , если хотя бы один из них попадает на ось .
Система неустойчива , если хотя бы один попадает в правую часть плоскости .