
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •2. Числовые последовательности
- •3. Понятие функции. Предел и непрерывность функции
- •Методы раскрытия неопределённостей при вычислении пределов функций
- •Эквивалентные бесконечно малые величины
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •Классификация точек разрыва
- •4. Производная и дифференциал функции
- •Правила дифференцирования
- •Дифференциал функции
- •Производные высших порядков
- •Применение производной в экономике. Эластичность функции
- •5. Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций. Локальный экстремум функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение графиков
- •Примерные варианты контрольной работы № 1 по математическому анализу
- •6. Неопределённый интеграл Первообразная. Неопределённый интеграл
- •Основные методы интегрирования Метод разложения
- •Метод замены переменной. Подведение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование дробно-рациональных выражений
- •Метод неопределённых коэффициентов
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
Наибольшее и наименьшее значения функции
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, затем выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Пример
3. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
Решение.
Находим
значение функции в критических точках
и на концах отрезка. Заметим, что значение
,
поэтому значение функции при
находить не нужно.
Наибольшее
значение
,
наименьшее
.
Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
1.
Если
то
при условии, что предел в правой части
равенства существует.
2.
Если
то
при условии, что предел в правой части
равенства существует.
Эти
правила можно распространить и на
случай, когда
Если
или
то правила Лопиталя можно применять
ещё несколько раз, пока неопределённость
не будет раскрыта.
Примеры. Вычислить пределы:
1.
.
2.
.
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
График функции y = f(x) называется выпуклым (вверх) на интервале (a,b), если на этом интервале кривая f(x) лежит ниже касательной к графику функции, проведенной в любой точке интервала (a,b), и называется вогнутым (выпуклым вниз), если f(x) лежит выше касательной к графику функции в любой точке этого интервала.
Если
функция y
= f(x)
в каждой точке интервала (a,b)
имеет вторую производную
то график функции имеет на интервале
(a,b)
выпуклость вверх (вниз).
Точка
графика функции y
= f(x),
в которой кривая f(x)
меняет выпуклость на вогнутость или
наоборот, называется точкой
перегиба.
Достаточное условие точки перегиба.
Пусть
функция y
= f(x)
имеет вторую производную в окрестности
точки
в которой
или
не существует. Тогда, если при переходе
через точку
слева направо
меняет знак с плюса на минус (с минуса
на плюс), то
- точка перегиба графика функции f(x).
Алгоритм
исследования функции на выпуклость и
вогнутость похож на алгоритм исследования
её на возрастание и убывание, но вместо
знаков
рассматривают знаки
Пример
4. Исследовать
на выпуклость и вогнутость и найти точки
перегиба графика функции
Решение.
1.
Область определения функции – интервал
2.
3.
4.
при x
= 0.
5.
При
x
< 0
следовательно, функция выпукла при
При
x
> 0
следовательно, функция вогнута на
x = 0 – точка перегиба; y(0) = 11.
Пример
5. Исследовать
на выпуклость и вогнутость и найти точки
перегиба графика функции
Решение.
1.
Область определения функции
2.
3.
4.
Вторая производная
не существует в точке х
= ½, но в этой точке не существует также
и функция у.
5.
При x < ½ функция выпукла, при x > ½ функция вогнута.
Асимптоты графика функции
Прямая,
к которой неограниченно приближается
график функции
при
или
,
называется асимптотой.
Если
хотя бы один из пределов
или
то прямая x
= a
является вертикальной
асимптотой.
Здесь x
= a
является точкой разрыва функции.
Непрерывные функции не имеют вертикальных
асимптот.
Прямая
y
= kx
+ b
является наклонной
асимптотой
графика функции y
= f(x),
если существуют пределы:
Если
или
то
прямая y
= b
является горизонтальной
асимптотой
графика функции f(x).
Пример
6. Найти
асимптоты кривой
Решение. 1) Функция у не определена при х = ½. Это точка разрыва функции. Находим пределы функции слева и справа в этой точке.
Значит,
-
вертикальная асимптота.
2) Находим наклонную асимптоту y = kx + b. Вычислим k и b:
Следовательно,
- наклонная асимптота.
Пример
7. Найти
асимптоты графика функции
.
Решение.
1) Функция y
не определена при
-
вертикальная асимптота.
2)
-
горизонтальная асимптота.