Эквивалентные бесконечно малые величины

Пусть и бесконечно малые функции при Если то и называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение:

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую из них (или только одну) заменить другой более простой бесконечно малой, ей эквивалентной, то есть если то

При имеют место следующие эквивалентности:

Пример. Вычислить

Решение. Возникает неопределенность . Заменим бесконечно малые функции в числителе и в знаменателе на эквивалентные бесконечно малые: при

Получим: .

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Функция , определённая в точке а, называется непрерывной в этой точке, если . По аналогии с понятием одностороннего предела, существует понятия функции, непрерывной в точке справа и слева. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как слева, так и справа в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, может быть, за исключением самой точки а. Точка а называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в точке а.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: 1) функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; 2) функция не определена в данной точке.

Классификация точек разрыва

Пусть - точка разрыва функции .

1. Устранимый разрыв I рода.

Если в точке существуют односторонние пределы, которые равны между собой, но не равны значению функции в этой точке или , а не существует, то такая точка разрыва называется устранимой.

2. Неустранимый разрыв I рода.

Если односторонние пределы в точке не равны между собой , то такая точка разрыва называется неустранимой.

3. Разрыв II рода.

Если хотя бы один из пределов и не существует или бесконечен в точке , то такая точка называется точкой разрыва II рода.

Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение.

Данная функция не определена в точках и функция имеет разрывы в точках . Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

: .

.

Левосторонний предел при равен ∞ данная точка является точкой разрыва второго рода.

: .

.

Левосторонний предел при равен ∞ данная точка является точкой разрыва второго рода.

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение.

Данная функция не определена при .

При : .

При : .

Значения односторонних пределов конечны, но не равны между собой, следовательно, в точке существует неустранимый разрыв I рода.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13.

Исследовать функцию на непрерывность, указать характер точек разрыва:

14. . 15. 16.