Интегрирование иррациональных функций
1. Дробно-линейные иррациональности
а)
Под дробно-линейной иррациональностью
понимается выражение вида
.
Пусть необходимо вычислить
(*),
где R
– рациональная функция от х
и от
.
Интегрирование таких выражений
осуществляется с помощью замены
.
Тогда
.
Подставив
в интеграл (*), получим:
.
Такой интеграл является интегралом от
рациональной функции.
б)
Пусть в подынтегральной функции в
качестве аргументов имеются радикалы
с одним и тем же подкоренным выражением,
но с разными степенями:
(**)
Вычисление
интегралов с такой функцией проводится
следующим образом. Пусть для степеней
m,
l,
n
число s
является наименьшим общим кратным,
тогда отношения
являются также натуральными числами.
Вводится замена
.
Тогда
.
С учётом этих замен подынтегральная
функция (**) от новой переменной является
рациональной алгебраической функцией.
Пример.
2. Квадратичные иррациональности
а)
Выражение вида
называется квадратичной иррациональностью.
Пусть необходимо вычислить
(*),
где
- рациональная функция от аргументов х
и
.
Для решения таких интегралов используются подстановки Эйлера.
1)
Пусть в иррациональности
,
тогда используется подстановка
.
Подставляя
это в (*), окончательно получим:
.
2)
Пусть в иррациональности
,
тогда используется подстановка
.
.
Подставляя это в (*), получим рациональное подынтегральное выражение.
3)
Пусть
имеет различные действительные корни
λ
и μ.
Тогда
примет вид
.
Используется третья подстановка Эйлера:
.
Возведя в квадрат и сократив на
,
получим
- это дробно-линейная подстановка,
исследуемая в пункте 1.
б) Часто подстановки Эйлера приводят к громоздким вычислениям, поэтому можно использовать тригонометрические подстановки.
1)
Пусть в иррациональности
.
Выделим в подкоренном выражении
полный квадрат:
,
где
.
-
Для выражения
используется подстановка
.
Получим:
.
-
Для выражения
используется подстановка
.
.
2)
Пусть в иррациональности
,
тогда
.
Итак,
если после выделения полного квадрата
и введения переменной t
получим
,
то используется подстановка
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим
интеграл вида
,
где R
–рациональная функция от sin
x
и от cos
x.
Общим методом интегрирования таких
тригонометрических функций является
метод
универсальной тригонометрической
подстановки
вида
.
При этом тригонометрическая подынтегральная
функция переходит в дробно-рациональную
функцию.
.
Пример
1.
.
Данный интеграл можно найти, используя метод неопределённых коэффициентов.
Применение универсальной подстановки часто приводит к громоздким вычислениям, поэтому при возможности используют более простые приёмы.
1.
Функция
нечётна относительно sin
x,
если выполняется равенство
.
В таких случаях используется замена
.
Пример
2.
2.
Функция
нечётна относительно cos
x,
если выполняется равенство
.
В таких случаях используется замена
.
Пример
3.
.
Каждый из этих интегралов можно найти, используя метод неопределённых коэффициентов и метод замены переменной.
3.
Если при смене знака одновременно sin
x
и cos
x
функция не меняет знака, т.е.
,
то используется замена
или
.
Пример
4.
.
4.
а)
Интегрирование выражений вида
(
- действительные числа). Вычисление
таких интегралов основано на разложении
произведения sin
и cos
в виде их разности или суммы:
б)
Интегрирование выражений вида
.
Интегрирование
таких выражений осуществляется с помощью
замены:
.
Подставляя новую переменную в интеграл,
получим:
.
Задания для самостоятельного решения
Найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Найти интегралы, используя метод замены переменной или подведение под знак дифференциала:
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям:
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Найти интегралы рациональных функций:
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
Найти интегралы иррациональных функций:
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
Найти интегралы тригонометрических функций:
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
