65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.

ОЗН. Ф-ії наз. елементарними дробово-раціон. ф-ми, або елемент. дробями.

ОЗН. дробово-раціон. ф-ія (Pr(x), Qn(x) – многочлени степені відповідно r і n) наз. правільною, якщо r<n і неправільною: r n.

Заув. Якщо раціон. дріб (1) неправільний його завжди можна подати у вигляді де r1<n, M(x) – деякий многочлен.

Теор. Якщо знаменник правільною раціон. дробу можна подати у вигляді то справедлива формула:

Теор. без доведення. Знаведенної теор. випливає, що інтегрув. раціон. ф-ії зводиться до інтегрув. елементарних дробів. У випадку, коли раціон. ф-ія неправільна:

а інтеграл виражається знову таки через інтегр. від елемент. дробів. Буквені коеф. А1,...,Ак1,В1,..., Вкm,E1,…,El1,F1,…,Fl1,M1,…,

Mls,N1,…,Nls у розкладені раціон. дробу на елемент. дроби невідомі. Для їх знаходження існують 2 методи:

1) метеод прирівняння невизначен. коефіц. при степеня х. Суть його полягає в тому, що після розкладення раціон. ф-ії на елемент. дроби вирази у правій частині приводять до спільного знаменника. В результаті одержимодріб, знамен. якого, співпадає із знамен. вихідної ф-ії, а чисельник містить невідомі буквунні коефю, помножен. на х та його степені. Прирівнюючи цей чисельник і чисельник вихідного дробу одержимо рівняня, з якого будемо приравнювати коеф. при відповідних степен. х. В результаті маємо систему, з якої і визначають невідомі буквені коеф.

2) суть його полягає в тому, що після приведеня елемент. дробів до спільного знамен. і після того, як ми прирівняли чисельники дробів, ми надаємо х конкретних значень стільки скільки є невідомих.

Заув. на практиці зручніше для пошуку невизнач. коеф. застосовувати комбінований метод, при якому частину рівнянь одержують, приравнюючи коеф. при однакових степенях х, а іншу частину рівнянь одержують, надуючи х конкретних значень. Якщо знаменик має дійсні корені, краще надавати саме їх.