5.3 Формулы для определения объема ствола

По диаметрам, измеренным на разной высоте по стволу, определяемым по приведенным выше уравнениям, могут быть найдены площади поперечных сечений древесных стволов по следующей формуле:

g=A+Bx+Cx²+Dx³, (5.20)

где g – площадь поперечного сечения ствола;

х – расстояние от шейки корня до рассматриваемого сечения;

A,B,C,D – некоторые постоянные коэффициенты.

Определив площади поперечных сечений стволов, легко найти объем ствола или его части V. Этот объем можно рассматривать как сумму бесконечно тонких поперечных отрезков, имеющих высоту dx и площадь основания g.

Соответственно этому:

. (5.21)

Подставим вместо g его значение, вычисленное по формуле (5.21):

. (5.22)

Первообразная для xⁿ будет функция , отсюда

. (5.23)

Для определения объема ствола или его части сначала можно ограничиться двумя членами подынтегрального выражения. В этом случае:

g=A+Bx (5.24)

. (5.25)

Для нахождения коэффициента А и В берут два конкретных сечения: g₀ у основания ствола и g_L – на расстоянии L от шейки корня (рисунок 5.6). Затем составляют два уравнения, определяющих площади этих сечений:

g₀=A+Bx₀ и g_L=A+Bx_L. (5.26)

в этих уравнениях x₀ = 0, x_L = L. Поэтому можем написать:

g₀=A; g_L=A+BL. (5.27)

Решая последнее уравнение относительно В, получим:

. (5.28)

Подставив в формулу (5.23) вместо А и В вычисленные значения этих коэффициентов и вместо х равную ему величину L, получим:

. (5.29)

Эта формула (5.29) в лесной таксации называется простой формулой Смалиана.

Рисунок 5.6 Схема определения объёма ствола по простым

формулам

Возьмем одно поперечное сечение на половине целого ствола или его части, а второе в тонком конце. Местоположение первого сечения определяется величиной , а второго – на расстоянии L от основного ствола. Обозначив первое сечение через , а второе g_L можно написать:

; (5.30)

Обе части первого уравнения увеличим в 2 раза:

,

Из первого уравнения вычтем второе:

, (5.31)

Заменим во втором уравнении величину А выражением , получим:

. (5.32)

Подставим найденные значения А и В в основную формулу (5.23):

,

Заменив х через L, получим:

. (5.33)

Обозначим поперечное сечение на половине ствола или его части греческой буквой γ (гамма), тогда формула примет следующий вид:

. (5.34)

Эта формула (5.34) основная в лесной таксации. Она называется формулой срединного сечения, или формулой объема цилиндров. Впервые она была применена лесоводом Губером. В связи с этим ее называют простой формулой Губера.

Чтобы вывести следующую формулу, первое поперечное сечение возьмем на расстоянии от комля, равном 1/3 высоты ствола, а второе – в верхнем конце ствола или его отдельной части, обозначив первое сечение через и второе через .

Соответственно этим условиям составляем два уравнения:

;

Увеличим в 3 раза обе части первого уравнения, получим:

Из полученного уравнения вычтем второе:

Отсюда:

Заменив во втором уравнении А выражением , находим, что

.

Подставим в основную формулу (5.32) найденные значения А и В и заменив х через L, получим

; (5.35)

Эта формула (5.35) называется формулой Госфельда.

Для целых стволов, у которых площадь поперечного сечения в верхнем конце равна нулю, формула Госфельда будет иметь такой вид:

. (5.36)

В рассмотренных трех формулах были использованы два члена подынтегрального выражения. Для получения более точного результата можно взять три члена подынтегрального выражения.

В этом случае:

g=A+Bx+Cx²,

а объем ствола или его части

.

Для нахождения коэффициентов A, B и C составляют три уравнения, определяющие площади поперечных сечений: в комлевом конце, на середине и в верхнем конце ствола или его части.

; ; .

х₀ = 0, отсюда g₀ = А. Заменив А через g₀, будем иметь

, .

Обе части первого уравнения увеличим в 4 раза:

Из этого уравнения вычтем второе:

Следовательно,

.

Заменив во втором уравнении BL выражением , получим:

.

При трех членах подынтегрального выражения объем ствола или его части равны

.

Заменив х через L, получим

. (5.37)

Подставив вместо A, B и C ранее найденные величины, будем иметь:

Обозначив площадь сечения на середине длины через γ, получим:

. (5.38)

Эта формула (5.38) пригодна для определения объемов всех тел вращения: цилиндра, параболоида, конуса и нейлоида. В математике она называется формулой Ньютона. В лесной таксации эту формулу первым применил немецкий лесовод Рикке. В связи с этим ее называют простой формулой Ньютона – Рикке.

Располагая поперечные сечения в иных точках, можно вывести другие формулы, определяющие объем ствола или его части. Кроме того, имеется ряд других эмпирических формул, но на практике они применяются редко.

При пользовании рассмотренными выше простыми формулами для определения объема древесный ствол или его часть уподобляют правильному геометрическому телу, в данном случае параболоиду, поскольку для образующей древесного ствола взято уравнение кубической параболы.

Обобщая изложенное, отметим, что для определения объемов ствола используют 3 наиболее распространенные формулы: Губера (5.34), Смалиана (5.29) и Ньютона – Рикке (5.38). Хотя формула Госфельда (5.35, 5.36) не уступает названным по точности, но ее в практике почти не используют из-за более сложной техники измерений, т.к. требуется находить диаметр на 1/3 длины ствола.

Простые стереометрические формулы не могут в полной мере отразить форму древесного ствола. Поэтому их точность, как будет показано ниже (в 5.4), невысока. Применение названных формул ограничено, и они используются лишь для ориентировочных оценок объемов стволов. Применение простых стереометрических формул (Губера, Смалиана) оправдано для коротких отрезков ствола (до 3 м, но лучше не более 2 м), которые обычно соответствуют правильным телам вращения. Для установления объемов стволов и более длинных его отрезков в науке, а при необходимости в практике применяют сложные (секционные) стереометрические формулы.