Закон больших чисел

1. Средний размер вклада в отделении банка равен 6000 руб. Оценить вероятность, что случайно взятый вклад не превысит 10000 руб.

2 В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5?

3. В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах будет находится с вероятностью 0.99 число деталей отличного качества, если взять 10 000 деталей? Дать оценку с помощью неравенства Чебышева и с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

4. Доходы (в месяц) жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.

5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 час. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 час.

6. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города составит от 9 до 11% ( включительно).

7. Число посетителей магазина (в день) имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием 289. Найти вероятность того, что за 100 рабочих дней суммарное число посетителей составит от 28 550 до 29 250 человек.

Математическая статистика

1. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_В=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

2. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

3. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

4. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

5. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S = 5 мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью  = 0,95 доверительный интервал для параметра .

6. Средняя урожайность пшеницы на 17 опытных участках области составила = 25 ц/га, а S = 2 ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

7. По результатам n = 10 наблюдений установлено, что средний темп роста акций предприятий отрасли равен = 104,4%. В предположении, что ошибки наблюдений распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 1%, определить надежность  = 0,95 интервальную оценку для генеральной средней .

8. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ=1,5.

9. При испытаниях были получены значения максимальной скорости самолета: 423, 426, 420, 425, 421, 423, 432, 427, 439, 435 м/с. Сделав предположение, что максимальная скорость самолета есть нормальная случайная величина, проверить гипотезу H₀ : µ₀ = 430 м/с при конкурирующей гипотезе H₁: µ₁ = 420 м/с и вычислить мощность критерия при =0,005.

10. По двум независимым выборкам, объемы которых n=40 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние, соответственно равные 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80, D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁:M(X)≠M(Y).

11. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=14 и n₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,84 и s_Y²=2,52. При уровне значимости α=0 проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

12. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>15.