Вопрос 10

По двум независимым выборкам объемов n1=17, n2= 25, извлеченных из генеральных совокупностей , имеющих нормальное распределение, найдены исправленные выборочные дисперсии

=12,57 и =7,24. Для проверки гипотезы

- найдите наблюдаемое значение критерия:

1) 12,57*7,24;

2)

3) 1-12,57*7,24;

4)

Вопрос 11

Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей выполняется по критерию:

1) Пирсона;

2) Фишера – Снедекора;

3) Колмогорова

4) Стьюдента.

Вопрос 12

Укажите правостороннюю критическую область, если критическая точка равна 3,1:

1) (3,1, +);

2) (0, +);

3) (-, 3,1);

4) (-3,1, -).

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.- М.: Наука, 1986.

2. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. - М.: Высшее образование, 2008.

3. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие для вузов. Серия «Высшее образование». Ростов -н/Д: Феникс, 2004.

4. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и практикум / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: Высшее образование, 2005.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие: 12-е изд. - М.: Высшее образование, 2007.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник для студентов математических специальностей университетов. 6-е изд., перераб. – М.: Наука, 1988.

7. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебник для вузов. Рек. Мин. обр. – М.: Логос, 2003.

8. Гусакова В.И. Шепелова Н.С. Математика: Учебно-метод. пособие. –Ростов н/Д:СКАГС, 2007.

9. Гусакова В.И. Шепелова Н.С. Математика: Учебно-метод. пособие. –Ростов н/Д:СКАГС, 2008.

10. Гусакова В.И., Кривошлыков В.Н., Шепелова Н.С. Математика: Методические указания для самостоятельной работы студентов: Учебно-метод. пособие.- Ростов н/Д: СКАГС, 2010.

11. .Тугуз Ю.Р. Математика. Ч.2. Теория вероятностей и математическая статистика. - Ростов н/Д: СКАГС, 2006.

Глоссарий

Вариантами называют различные значения признака, появившиеся в процессе наблюдения.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп.

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений.

Гипотеза о том, что две совокупности, сравниваемые по одному или нескольким параметрам, не отличаются считается нулевой гипотезой Н₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1, 2,…,m,…,n с вероятностями где 0 < p <1, q = 1─ р.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с вероятностями где λ = np.

Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(Х) = М[Х-а]²,

Дисперсией D(X) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D(X) = M[Х-M(X)]² или D(X) = M[X-a]² , где а = М(Х).

Дисперсионным анализом называется статистический метод анализа результатов испытаний, цель которого - оценить влияние одного или нескольких качественных факторов на рассматриваемую величину Х.

Достоверной вероятностью (надежностью) оценки параметра называется вероятность β, с которой осуществляется неравенство , где δ положительной число, характеризующее точность оценки. В качестве величины β принимают число близкое к единице (обычно β имеет значения 0,90; 0,95; 0,99). Соотношение определяет вероятность того, что неизвестный параметр с доверительной вероятностью β находится в пределах доверительного интервала .

Интегральная функция распределения. Пусть дана функция F(x), определённая следующим образом: для каждого х значение F(x) равно вероятности того, что дискретная величина X примет значение, меньшее х, F(x) = Р(Х<х).

Исход называется благоприятным некоторому событию, если появление этого исхода влечет зa собой появление данного события.

Классическое определение вероятности. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А исходов (k) к общему числу равновозможных исходов (n):

К оэффициентом вариации называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней.

Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Критерий Стьюдента. Проверка гипотезы о равенстве средних.

Критерий Фишера. Проверка гипотезы об однородности дисперсий.

Математическим ожиданием (средним значением) М(Х) случайной дискретной величины называется сумма произведения всех ее значений на соответствующие им вероятности.

М атематическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения (х) называется число а = М(Х), определяемое равенством

Медиана (Ме) является величиной, занимающей центральное или срединное положение в тех случаях, когда ряд наблюдений расположен в порядке от низшего к высшему. Медиана делит ряд распределения пополам. При нечетном числе членов медианой будет значение среднего члена ряда; если же число членов ряда четное, то за медиану принимается среднее арифметическое двух значений, находящихся в середине.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Модой (М₀) называется наиболее вероятное значение случайной величины или то значение этой величины, частота которой наибольшая.

Мощностью критерия называют вероятность не совершить ошибку второго рода.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и ² , если ее плотность вероятности имеет вид:

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Ошибка второго рода - гипотеза Н₀ принимается, а на самом деле она неверна.. Вероятность ошибки второго рода равна β.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости .

Плотностью вероятности (плотностью распределения) (х) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения, т. е. (х) = F(x).

Ряд наблюдений, упорядоченный по возрастанию, называется вариационным рядом.

Случайным событием (событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти при определенных условиях.

Статистические оценки должны отвечать определенным требованиям, чтобы соответствовать оцениваемым параметрам , т.е. иметь близкие к ним значения. Эти требования: несмещенность – математическое ожидание оценки должно равняться оцениваемому параметру, т.е. эффективность - оценка при заданном объеме выборки должна обеспечивать наименьшую дисперсию, т.е. состоятельность – по мере увеличения объема выборки оценка должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру т.е

Статистическим критерием (или просто критерием) называю случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка характеризуется одним числом, то она называется точечной. Если статистическая оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, то она называется интервальной. К числу точеных оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В). Если и - противоположные события, то .

Теорема умножения. Если А и В независимые события, то Р(АВ) = Р(А)Р(В). Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)  Р(АВ).

Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Уровнем значимости или размером критерия называют вероятность совершить ошибку первого рода.

Формула Байеса

Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Н_k, т.е. P(H_k/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез).

Формула Бернулли

Проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1, (т.е. ). Какова вероятность, что при n испытаниях coбытие А произойдет ровно k раз? (Обозначается P_n(k)).

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий. Тогда

Функцию

называют функцией регрессии первого рода (или модельной функцией регрессии) У по Х, а её график - линией регрессии У на Х.

Функцию

называют функцией регрессии Х по У.

Учебное-издание

доц., к.т.н. Гусакова Валентина Ивановна