1. Классическая вероятность
В классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общему числу элементарных исходов n.
2. Статистическая вероятность
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.
3. Геометрическая вероятность
Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами
где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.
Пример 3.1
На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения.
Показать решение
4. Теорема сложения и умножения вероятностей
Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие D , происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В: D = A + B Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D
Пример 4.1
Пусть А, В, С, D – четыре события пространства Ω исходов эксперимента. Выразите через А, В, С, D следующие события: а) наступают все четыре события; б) наступает хотя бы одно из событий.
Показать решение
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример 4.3
В квадрат со стороной а = 30 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность Р того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в r = 3 см от центра квадрата.
Показать решение
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
В частности, для независимых событий
События являются независимыми, если факт появления одного из них не влияет на вероятность появления другого.
5. Формула полной вероятности
События образуют полную группу, если они в совокупности описывают все возможные несовместные друг с другом исходы некоторого испытания; сумма вероятностей событий полной группы равна 1. Например, испытание - бросание игральной кости. Всего исходов испытания - шесть (число выпавших очков от 1 до 6), каждый может произойти с вероятностью 1/6, сумма вероятностей всех исходов равна 1. Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда вероятность события A определяется как сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:
