Программа курса Теория вероятностей

1. Предмет теории вероятности и основные понятия

Сущность и условия применения теории вероятностей. Элементы комбинаторики (n!, сочетания, перестановка).

Понятие опыта, достоверного, невозможного и случайного события. Виды событий. Классическое, аксиоматическое и частотное определения вероятности.

2. Основные теоремы теории вероятностей

Теорема о сложении вероятностей. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность хотя бы одного события.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Повторные испытания. Схема Бернулли. Формулы Бернулли и Пуассона.

3.Дискретные и непрерывные случайные величины

Дискретная и непрерывная случайные величины и их характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

4. Модели законов распределения вероятностей

Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение.

5. Системы случайных величин

Законы распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами.

6. Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствия. Значение теоремы Чебышева для практики.

7. Цепи Маркова

Понятие случайного процесса. Марковский процесс и цепь Маркова.

Цепи Маркова с конечным числом состояний и дискретным временем. Однородные и эргодические цепи Маркова.

Математическая статистика

1. Основные понятия и задачи математической статистики

Генеральная совокупность и выборки. Оценки генеральной совокупности и выборочные оценки. Распределение частот. Теоретическая и эмпирическая функции распределения. Полигон и гистограмма.

2. Статистическое оценивание

Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Виды статистических оценок: несмещенные, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.

Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

3. Проверка статистических гипотез

Сравнение двух средних. Сравнение двух дисперсий. Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона.

4. Регрессионный анализ

Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия с несгруппированными данными. Линейная регрессия со сгруппированными данными

5. Дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ с постоянными эффектами. Схема однофакторного дисперсионного анализа. Множественное сравнение средних.

Вопросы к зачету

1. Элементы комбинаторного анализа.

2. Сущность и условия применения теории вероятностей.

3. Основные понятия теории вероятностей.

4. Вероятностное пространство.

5. Непосредственный подсчет вероятности.

6. Теоремы сложения вероятностей.

7. Теоремы умножения вероятностей.

8. Формула полной вероятности.

9. Теорема Байеса.

10. Формула Бернулли.

11. Случайные величины, способы их описания.

12. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

13. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин.

14. Равновероятностный закон распределения вероятностей.

15. Закон распределения вероятностей Пуассона.

16. Биномиальный закон распределения вероятностей.

17. Экспоненциальный закон распределения вероятностей.

18. Нормальный закон распределения вероятностей.

19. Цепи Маркова.

20. Матрица переходных вероятностей.

21. Неравенство Чебышева.

22. Закон больших чисел и его следствие.

23. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.

24. Генеральная и выборочная совокупность.

25. Статистическое оценивание параметров дискретных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

26. Статистическое оценивание параметров непрерывных случайных величин. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

27. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность, эффективность и надежность оценки.

28. Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза. Ошибки первого и второго рода.

29. Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений.

30. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.

31. Проверка статистической гипотезы об однородности дисперсий.

32. Проверка статистической гипотезы о статистической взаимосвязи.

33. Линейное однофакторное уравнение регрессии

34. Линейное многофакторное уравнение регрессии.

35. Схема однофакторного дисперсионного анализа.