4. Электроемкость

Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника называют величину

, (4.1)

где q – его заряд, φ - потенциал.

Формулы для расчета электроемкости тел различной геометрической формы, приведены в таблице 3.

Таблица 3

Электроемкости тел различной геометрической формы

Геометрическая форма заряженного тела	C, Ф
Уединенный шар радиуса R		где ε – диэлектрическая проницаемость среды, в которую помещен шар
Плоский конденсатор		где q – заряд на одной из обкладок, U= φ1- φ2 – разность потенциалов между обкладками
		где S – площадь обкладки, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками, d – расстояние между обкладками
Сферический конденсатор		R1,R2 – радиусы сфер, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между сферами
Цилиндрический конденсатор		R1,R2 – радиусы цилиндров, h – длина конденсатора, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между цилиндрами

Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения конденсаторов приводятся в таблице 4.

Таблица 4

Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение	Параллельное соединение
C = C1+C2+…+ Cn.

Плотность энергии электрического поля:

. (4.2)

Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности потенциалов U, обладает энергией

. (4.3)

Примеры решения задач

Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого равно 5 мм, заряжен до разности потенциалов 6 кВ. Площадь пластин конденсатора равна 12,5 см², пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами:

1. конденсатор остается соединенным с источником напряжения;

2. перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.

Найти:

а) изменение емкости конденсатора;

б) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов;

в) изменение объемной плотности энергии электрического поля.

Решение задачи проведем отдельно для 1 –го и 2 –го случая.

1-й случай: конденсатор остается соединенным с источником напряжения.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж

2. При раздвижении пластин конденсатора, присоединенного к источнику тока, разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной ЭДС источника.

. (1)

Так как

, (2)

(3)

, (4)

то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и заряд на его пластинах, и напряженность поля конденсатора.

Это приводит к изменению потока напряженности:

, (5)

а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля:

. (6)

3. Пользуясь формулами (2)-(6), легко определить изменение величин: емкости, потока напряженности сквозь площадь электродов, объемной плотности энергии электрического поля. Все величины, характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d₁ обозначаем с индексом “1”, а с расстоянием d₂ – с индексом “2”. Получим следующие расчетные формулы:

; (7)

; (8)

(9)

3. Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет значений искомых величин:

;

3. Раздвижение пластин конденсатора при приводит к уменьшению электроемкости (), заряда на пластинах (), энергии электрического поля конденсатора ( ) и потока вектора напряженности через площадь пластин (). За счет работы внешних сил и уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка).

Ответ: , , .

2-й случай: перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.

Дано: Решение:

1. Сделаем пояснительный чертеж.

1. При раздвижении пластин конденсатора, отключаемого от источника тока, заряд на пластинах измениться не может:

. (1)

Так как

(2); (3); (4); (5),

то при этом изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и разность потенциалов между пластинами. Напряженность электрического поля конденсатора остается неизменной:

2. Пользуясь формулами (1) – (5), запишем:

;

4. ;.

5. Раздвижение пластин конденсатора при приводит к уменьшению электроемкости () и увеличению разности потенциалов между пластинами (). Поток вектора напряженности и объемная плотность энергии конденсатора остаются постоянными (). Энергия электрического поля конденсатора (поле однородное) при этом возрастает (V₂>V_1,W₂>W₁). Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил по раздвижению пластин.

Ответ: , , .

Задача 2. Какие изменения произойдут, если в заряженный плоский конденсатор поместить два диэлектрика с (рис.13)?

Рассмотрим случай, когда помещение диэлектрика можно произвести при вертикальном заполнении пластин.

ε₁

ε₂

U

Рис.13

1. Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух конденсаторов, соединенных параллельно (рис.14).

C₁

ε₁

ε₂

C₂

U

Рис.14.

, где , (1) а . (2)

.

Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором.

, . (3)

При таком заполнении электроемкость увеличивается в раз.

2. Определим, как перераспределится заряд на конденсаторах.

Первоначальный заряд q₀ определим из определения электроемкости.

=>

В связи с тем, что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока, то, по закону сохранения заряда, этот заряд q₀ перераспределится между двумя конденсаторами и при одинаковом на них напряжении.

,

причем

Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика, тем больший заряд будет на этом конденсаторе.

и

3. В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится.

=> и .

Подставим (3) и получим:

, где .

.

Напряжение увеличится в раз.

4. Рассмотрим, изменится ли напряженность электростатического поля в батарее конденсаторов.

Первоначально напряженность поля равна:

, .

Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в раз больше первоначальной.

5. Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится:

, но первоначально , поэтому .

Поток вектора напряженности увеличится в раз.

3. Оценим энергию поля.

Первоначально объемная плотность энергии электрического поля

, т.к. был задан воздушный конденсатор.

Теперь плотность энергии каждого конденсатора:

.

.

Полная энергия:

.

Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках.

Ответ: полная энергия увеличится.