3. Потенциал. Связь напряженности и потенциала

Потенциалом какой-либо точки электростатического поля называется величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

. (3.1)

Разностью потенциалов между точками a и b электрического поля называется отношение работы А, которую совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки a в точку b, к этому заряду:

. (3.2)

Работа А, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда определяется по формуле:

. (3.3)

Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:

. (3.5)

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля:

. (3.6)

.

Если φ_a и φ_b – потенциалы точек a и b, лежащих на одной линии напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга, то напряженность электрического поля:

. (3.7)

Используя интегральную связь (3.6), получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей, созданных зарядами, расположенными на телах разной геометрической формы (см. таблицу 2).

Таблица 2

Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела	вне, В	внутри, В	, В
Точечный заряд		-
Сфера		const
Сферический конденсатор	const	,
Бесконечная плоскость		-
Плоский конденсатор	const	,
Бесконечный цилиндр	-	const
Бесконечная нить	-	-
Цилиндрический конденсатор	const	-

Примеры решения задач

Задача 1. В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см находятся заряды , , . Определить потенциал в точке А.

Дано: Решение:

Потенциал является энергетической характеристикой. Потенциал результирующего поля равен алгебраической

сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым

из слагаемых полей.

, , , .

Ответ:

Задача 2. Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R. Заряд сферы q. Найти разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от центра заряженной сферической поверхности. Записать выражение потенциала для точек внутри и вне и построить график .

Дано:	Решение:
q R ? -?

Рис. 8

Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического поля заряженной сферы направлены радиально. По тем же причинам модуль вектора напряженности должен быть одинаковым во всех точках, лежащих на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы.

Если применить теорему Гаусса для определения , то получим, что электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду и расположенного в ее центре, и вычисляется по формуле:

. (1)

Внутри сферы поле отсутствует. В этом случае уравнение

. (2)

имеет вид:

. (3)

Формулы (1), (3) позволяют полностью решить задачу.

Из последнего уравнения следует, что

(4)

откуда

.

Окончательно запишем:

.

Найдем потенциал заряженной сферической поверхности:

.

Потенциал вне сферы вычисляется по формуле:

.

На рис.8 изображен график для заряженной сферической поверхности. Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально , где r – расстояние от центра заряженной сферы до точки, в которой необходимо найти потенциал. Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы.

Ответ: ,.

Задача 3. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга. К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя по линии напряженности расстояние ?

Дано:	Решение:
d = 2 см U = 120 В -?	Для того, чтобы сообщить электрону кинетическую энергию , силы электрического поля должны совершить работу , где - разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии .

Напряженность поля , где . Тогда работа сил поля или, учитывая, что . Поскольку , то , откуда  м/с.

Ответ:  м/с.

Задача 4. Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность поля в конденсаторе ; расстояние между пластинами . Через какое время t после того, как электрон влетел в конденсатор, он попадет на одну из пластин? На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов ?

Дано:	Решение:
t-? s -?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со скоростью , т.к. вдоль оси х на него действуют силы. При равномерном движении координата х изменяется со временем х=t. Вдоль оси у на электрон действуют две силы: сила тяжести и сила электростатического поля = e. Сила тяжести на тридцать порядков меньше электростатической силы , и ею можно пренебречь. Под действием электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренным, а координата у изменяется со временем по закону . Отсюда при у = имеем . Пройдя разность потенциалов U, электрон за счет работы А сил электростатического поля приобретает кинетическую энергию, т.е. , откуда . Тогда через время t =48 нс он упадет на пластину на расстоянии . Подставив числовые данные, получим S=22 см.

Ответ: S=22 см.

Задача 5. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью. Напряженность поля в конденсаторе ; длина конденсатора l=5 см. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора.

Дано:	Решение:
l=5 см -? -?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора , где . В скалярной форме . Поскольку , то Направление скорости электрона определяется углом . Из рисунка видно, что cos= ; .

Ответ:, .

Задача 6. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна v₁ = 2 см/с. Через какое время t после подачи на пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d = 2 см, масса пылинки m = 2·10^-9 г, заряд ее q = 6,5·10^-17 Кл.

Дано:	Решение:
v1 = 2 см/с U = 3 кВ d = 2 см m = 2·10-9 г q = 6,5·10-17 Кл t - ?	1. Сделаем пояснительный чертеж.

В отсутствие электрического поля . При наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила , которая сообщает пылинке ускорение, но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью , причем . Из рисунка видно, что . Кроме того, отношение , откуда , тогда . Искомое время найдем по формуле . Подставляя числовые данные, получим

Ответ: