Примеры решения задач

Задача 1. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ=10 см, токи I₁=20 А, I₂=30 А. Найти напряженность Н магнитного поля, вызванного токами I₁ и I₂ в точках М₁, М₂ и М_3. Расстояния М₁А=2 см, АМ₂=4 см, ВМ₃=3 см.

Дано: Решение:

АВ=10 см

I₁=20 А

I₂=30 А

М₁А=2 см

А М₂=4 см

ВМ₃=3 см

Н₁,Н₂,Н₃-?

Согласно принципу суперпозиции напряженности Н₁,Н₂,Н₃ магнитного поля в точках М₁, М₂ и М₃ складываются из напряженностей, создаваемых токами I₁ и I₂.; . Напряженность , где а – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется напряженность. Тогда = ;

Отсюда, с учетом рисунка, Н₁=-=119,4 А/м; Н₂=+=159,2 А/м; Н₃==134,7 А/м.

Ответ: Н₁=119,4 А/м, Н₂=159,2 А/м, Н₃=134,7 А/м.

Задача 2. Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга. По виткам текут токи I₁ = I₂ = 2 А. Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.

Дано: Решение:

R = 4 см Напряженность магнитного поля,

d = 10 см создаваемого каждым из круговых

I₁ = I₂ = 2 А токов в точке М, равна

Н_а -? Н_б -? , где r = .

Поскольку величины I, R и r для обоих витков одинаковы, то значение напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным, т.е. Н₀₁ = Н₀₂. Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность магнитного поля . Если токи в витках текут в одном направлении, то направления векторов напряженности и совпадают и или Н_а =. Если токи текут в противоположных направлениях, то и Н_б = 0.

Ответ: Н_а=12,2 А/м, Н_б = 0.

Задача 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов , влетает в однородное магнитное поле под углом к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля . Найти радиус и шаг h винтовой траектории.

Дано:	Решение:
, h -?

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум направлениям: вдоль линии поля – и параллельно ему – . Составим два уравнения. Сила Лоренца создает центростремительное ускорение, т.е. , откуда (1). Поскольку , а из рисунка , то (2). Разделим обе части уравнения (2) на квадраты обеих частей уравнения (1). Получим ; , откуда . Шаг спирали найдем из соотношений и , откуда . Т.к. , то h=11 см.

Ответ: h=11 см.

Задача 4. По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А. Средний диаметр катушки d = 40 см, а радиус витков r = 5 см. Определить вектор индукции магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на расстояниях а₁ = 5 см и а₂ = 20 см. Тороид намотан на железный сердечник с магнитной проницаемостью = 5000.

Дано: Решение:

N = 1000

I = 2 A

d =40 см,

r = 0,05 м

а₁ = 0,05 м

а₂ =0, 2 м

= 5000

B₁ – ?

B₂ - ?

1. Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного поля:

.

2. Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой точке надо знать его напряженность в этой же точке. Воспользуемся законом полного тока.

В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем окружности с центром в центре тороида и радиусами а₁ и а₂, проходящими через точки 1 и 2.

Окружность радиуса а₁ не охватывает тока, поэтому

, следовательно Н₁ = 0 и = 0.

Окружность радиуса а₂ пересекает N витков с током, следовательно, циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI:

;

, где L – длина окружности радиуса а₂.

.

, а .

3. Производим вычисления:

.

Ответ: В₁ = 0, В₂ = 25 Тл.