5.2. Вопросы к экзамену.
Раздел I. Линейная алгебра.
-
Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.
-
Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.
-
Определители 2-ого и 3-его порядка, их вычисление. Основные свойства определителей.
-
Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
-
Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.
-
Решение, множество решений СЛУ. Совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.
-
Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.
-
Минор
-ого
порядка, базисный минор, ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы. Критерий
совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли). -
Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.
-
Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ.
-
Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.
-
Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.
-
Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений.
Раздел II. Векторная алгебра.
-
Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.
-
Коллинеарность и компланарность векторов. Базис плоскости
;
базис пространства
.
Координаты вектора. -
Понятие декартовой системы координат в
.
Радиус-вектор, координаты точки.
Вычисление длины и направляющих
косинусов вектора; координат вектора,
заданного двумя точками; расстояния
между точками. -
Преобразования прямоугольных декартовых систем координат на плоскости (параллельный перенос, поворот). Связь между собой координат произвольной точки в старой и новой системах координат.
-
Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.
-
Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.
-
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.