- •Высшего профессионального образования
- •Высшая математика
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •Задачи изучения дисциплины. Требования к знаниям и умениям студента.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел II. Векторная алгебра
- •Тема 4. Векторная алгебра.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия
- •Тема 5. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 6. Кривые и поверхности второго порядка
- •Раздел IV. Введение в математический анализ.
- •Тема 7. Функциональная зависимость.
- •Тема 8. Предел функции. Сравнение бм функций. Эквивалентные бм функции.
- •Тема 9. Непрерывность функции.
- •Раздел V. Комплексные числа и многочлены.
- •Тема 10. Комплексные числа и многочлены.
- •2.2. Практические занятия, их содержание.
- •2.3. Виды самостоятельной работы студентов.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Раздел II. Векторная алгебра.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия.
- •Раздел IV. Введение в анализ.
- •Раздел V. Комплексные числа. Алгебра многочленов.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Тема 4. Векторная алгебра.
- •Тема 5. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 6. Кривые второго порядка.
- •Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.
- •Тема 8. Предел функции. Эквивалентные функции.
- •Тема 9. Непрерывность функции.
- •Тема 10. Комплексные числа и многочлены.
- •6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
Тема 4. Векторная алгебра.
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается или . Углом между векторами и называется угол , , на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число .
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы и называются равными и пишут , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы и называются противоположными и пишут , если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.
Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора и конец вектора , при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора (правило треугольника). Произведением вектора на действительное число называется вектор :
1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину ; 3) направленный одинаково с вектором , если , и противоположно, если .
Ортом вектора , называется вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и , и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис -называется правым, если кратчайший поворот от к совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис -называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.
Условием коллинеарности векторов и является равенство: , где - некоторое число. Условием компланарности векторов , и является равенство: , где - некоторые числа.
Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базис и , то всегда существует единственное разложение: , где числа - координаты вектора в базисе , при этом пишут . Если в зафиксирован ортонормированный базис и , то равносильны записи: и (в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).
Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:
;
.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базиса и обозначается . Прямые ,,, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости: .
Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат =. Радиус-вектором точки называется вектор , который всегда единственным образом можно представить в виде: . Числа , являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями вектора на базисные орты и (на координатные оси и ). Координатами точки в системе координат называются координаты её радиус-вектора и пишут . В свою очередь, координаты точки полностью определяют её радиус-вектор . Всякий геометрический вектор в системе координат , всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде: .
Длина вектора , заданного координатами , определяется формулой: . Направляющими косинусами вектора называются числа: , , , при этом .
Координаты вектора, заданного точками и определяются по формуле: . Расстояние между точками и определяется как длина вектора и находится по формуле:
.
Координаты точки делящей отрезок пополам находятся по формулам: , , .
Скалярным произведением векторов и называется число . Скалярное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) где - число;
3) ; 4)
5) ; 6) , , , , , . Для векторов и , заданных своими координатами , скалярное произведение вычисляется по формуле: .
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и по формуле: ; 2) для вычисления проекции вектора на вектор по формуле: ; 3) для вычисления длины вектора по формуле: ; 4) в качестве условия перпендикулярности векторов и : .
Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1);
2) и ; 3) - правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) , где - число;
3) ; 4) 5) ;
6) , , , , , .
Для векторов и , заданных своими координатами , векторное произведение вычисляется по формуле: .
Векторное произведение применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах, по формуле: ; 2) в качестве условия параллельности векторов и : .
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов ,и называется число .
Смешанное произведение обладает свойствами:
1) ; 2) ;
3) ; 4) и -компланарны ;
5) , где -объём параллелепипеда, построенного на векторах ,и .
Для векторов , и , заданных своими координатами , , смешанное произведение вычисляется по формуле: .
Смешанное произведение применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах ,и , как на рёбрах, по формуле: ; 2) в качестве условия компланарности векторов ,и : и - компланарны.