2.1.3. Приклад рішення задачі симплекс – методом з штучним базисом

Умова:

Z = 8x₁ + 5x₂ (min)

1.5x₁ + 2x₂ 35

50x₁ + 30x₂ 900

6x₁ + 5x₂ = 100

x_j 0

Приводимо систему обмежень до канонічного виду. Для цього в перше та друге обмеження вводяться доповнюючи змінні x₃ , та x₄. Задача прийме такий вигляд:

Z = 8x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 0x₄ (min)

1.5x₁ + 2x₂ + x₃ = 35

50x₁ + 30x₂ + x₄ = 900

6x₁ + 5x₂ = 100

x_j 0

Система обмежень має два одиничних вектори - а3 та а4 . Для того, щоб отримати базис вводимо штучну змінну а5. Система прийме вигляд:

Z = 8x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ (min)

1.5x₁ + 2x₂ + x₃ = 35

50x₁ + 30x₂ + x₄ = 900

6x₁ + 5x₂ + x₄ = 100

x_j 0

Змінні третя четверта та п’ята створюють базис. Можемо записати симплексну таблицю і знайти оптимальне рішення.

Базис	Сi базис	План А0	8	5	0	0	М
			А1	А2	А3	А4	А5
А3	0	35	1.5	2	1	0	0	35/2
А4	0	900	50	30	0	1	0	900/30
А5	М	100	5	5	0	0	1	100/5
Zj - Cj		0	-8	-5	0	0	0
		100	5M	5M	0	0	0
А2	5	17.5	0.75	1	0.5	0	0	17.5|0.75
А4	0	37.5	27.5	0	-15	1	0	37.5/27.5
А5	M	12.5	1.25	0	-2.5	0	1	12.5/1.25
Zj - Cj		87.5	-4.25	0	2.5	0	0
		12.5	1.25M	0	-2.5M	0	0
А2	5	10	0	1	-1	0
А4	0	100	0	0	-70	1	-
А1	8	10	1	0	2	0	-
Zj - Cj		130	0	0	-6	0	-
		-	-	-	-	-	-

Оскільки всі Z_j - C_j 0 ми знайшли оптимальний план, який надає мінімального значення цільовій функції. Оптимальній план має вигляд:

Х_опт( х₁ = 10,.х₂ = 10,.х₃ = 0,.х₄ = 0,.х₅ = 0.), Z_min= 130