Тема1.3: «Множинний регресійний аналіз». План

1. Приклади багатофакторних економетричних моделей.

2. Загальна лінійна модель множинної регресії.

3. Метод найменших квадратів, основні припущення. МНК-оцінки параметрів лінійної регресії.

Література: [1-16].

1.Приклади багатофакторний економетричних моделей.

На практиці економічний процес змінюється під впливом багатьох різноманітних факторів, які необхідно вміти виявляти та оцінювати.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад.1 При розгляді впливу різних соціальних факторів: забезпеченість житлом населення, рівень освіти, продаж алкогольних напоїв на кількість зареєстрованих злочинів в деякій країні протягом n років бачимо, що описати парною регресійною моделлю цей процес не можна. Оскільки на один показник (кількість зареєстрованих злочинів) впливають наступні фактори: забезпеченість житлом населення, рівень освіти, продаж алкогольних напоїв. Доречно було б описувати багатофакторною регресією.

Приклад 2.Розглядаючи реальний валовий продукт, зазначимо, що на нього впливають наступні фактори: кількість робочої сили та кількість витрат на капітал в промисловому секторі країни. Описати і спрогнозувати значення реального валового продукту в наступному періоді можна за допомогою багатофакторної регресійної моделі.

2.Загальна лінійна модель множинної регресії.

Описати і дослідити зв’язок між економічними показниками можна за допомогою лінійної множинної регресії. Дані залежності є стохастичними і в класичних регресійних моделях встановлюють зв’язок випадкової результативної змінної Y і незалежних змінних: у випадку - спостережень.

Стохастична залежність, що визначається лінійною регресією у випадку m пояснюючих змінних може бути виявлена лише при багаторазовому повторенні спостережень. Результати спостереження представляються у вигляді таблиці статистичних даних.

Таблиця №1

Номер спостереження.	Змінні
	Залежні	Пояснюючі
і	У	Х1	Х2	…..	Хm
1	y1	x11	x12	…..	x1m
2	y2	x21	x22	…..	x2m
…..	…..	…..	…..	…..	…..
n	yn	xn1	xn2	….	xnm

Остання залежність має вигляд лінійної регресії у випадку m пояснюючих змінних.

(3.1),

Де - фіктивна змінна; - залежна (пояснювальна) змінна; незалежні (пояснюючі) змінні; - помилки; - невідомі параметри, які потрібно оцінити. Якщо позначити оцінки параметрів через , то отримаємо наступне рівняння лінійної багатофакторної регресії:

(3.2).

3.Метод найменших квадратів, основні припущення. Мнк-оцінки параметрів лінійної регресії.

Враховуючи табличний запис статистичних даних показників рівняння лінійної множинної регресії (3.1) набуде вигляду (3.3)

, (3.3)

де

Якщо можливі оцінки , тоді регресія (3.3) набуде вигляду (3.4)

.

Знаходження МНК - оцінок лінійної множинної регресії може бути здійснене декількома способами.

1 спосіб. Знаходження МНК - оцінок із системи нормальних рівнянь, яка в багатофакторному випадку має вигляд:

Розв’язавши систему лінійних рівнянь отримаємо МНК-оцінки множинної .

2 спосіб. Матричний спосіб знаходження МНК – оцінок.

Процес оцінювання регресійної моделі при m ≥ 2 є громіздким, оскільки обчислювати велике число сум і розв’язувати системи рівнянь із трьома і більше невідомими без використання ПК досить важко. Тому використовується матричний спосіб.

Залишимо у розгорнутому вигляді лінійну множинну регресійну модель і отримаємо наступну систему:

Запишемо систему у матричному вигляді де

.

Тоді оператор оцінювання параметрів має наступний вигляд:

, де матриця В – матриця оцінок параметрів регресії.

Алгоритм знаходження МНК – оцінок параметрів регресії матричним способом..

1. Записати регресійну модель в матричному вигляді.

2. Записати матрицю транспоновану до .

3. Знайти добуток матриць.

4. Знайти матрицю обернену до матриці .

5. Знайти матрицю .

6. Знайти матрицю .

7. Записати рівняння регресії:.

Для виконання дій над матрицями можна використати наступні функції програмного засобу Excel: «ТРАНСП», «МУМНОЖ», «МОБР».

3 спосіб. Для знаходження оцінок параметрів лінійної множинної регресії можна використати функцію «ЛИНЕЙН» в Excel.

Контрольні питання.

1.Загальний вигляд лінійної множинної регресії.

2.Яким методом оцінюються параметри лінійної багатофакторної регресії?

3.Скількома способами можна знайти МНК-оцінки лінійної багатофакторної регресії? Назвіть їх.

4.Який критерій використовується для визначення адекватності регресійної моделі?

5.Який показник дозволяє визначити якість побудованої регресійної моделі?