2.Оцінка параметрів парної лінійної регресії методом найменших квадратів (мнк). Властивості мнк- оцінок.

Для оцінки параметрів регресії використаємо метод найменших квадратів (1 МНК).

Зауваження : Основоположниками методу є математики К. Гаус і П. Лаплас.

Суть методу МНК: Оцінки параметрів моделі мають бути такими, щоб мінімізувати суму квадратів залишків кожного спостереження показника, тобто .

Параметри регресії можна визначити із нормальної системи рівнянь:

(3)

Розв’язавши лінійну систему отримаємо параметри .

Для знаходження оцінок параметрів лінійної однофакторної регресії можна використати функцію «ЛИНЕЙН» в Excel.

Властивості методу МНК.

1. МНК-оцінки є лінійними комбінаціями спостережень .

2. Відхилення МНК-оцінок від істинних значень відповідних параметрів є лінійними комбінаціями помилок

3. В регресійній моделі МНК- оцінки є не зсуненими оцінками відповідних параметрів .

4. (теорема Гауса - Маркова). Із усіх можливих лінійних не зсунених оцінок параметрів регресійної моделі тільки МНК – оцінки є найкращими лінійними не зсуненими оцінками.

5. МНК – оцінки регресійної моделі є обґрунтованими.

3.Коефіцієнти кореляції та детермінації.

Для визначення сили стохастичного зв’язку між економічними показниками використовується коефіцієнт кореляції.

Стохастичний зв’язок між двома величинами та називається кореляцією.

Нехай є два статистичних показника та із значеннями за спостережень. Обчислимо коефіцієнт кореляції.

Сила кореляційного зв’язку визначається коефіцієнтом кореляції.

; (4)

Де .Якщо r → - 1, то зв’язок між показниками та сильний оберненій; якщо r→ 1, то – сильний прямий ; r→ 0, то – зв’язок слабкий.

За допомогою коефіцієнта детермінації визначається якість побудованої регресійної моделі. Коефіцієнт детермінації обчислюється за формулою

(5)

Чим ближче значення до 1 тим вища якість побудованої моделі.

4.Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера.

За допомогою F-критерію Фішера характеризується значимість зв’язку в регресійній моделі. У випадку парної регресії цей критерій розраховується за наступною формулою:

(6), де 1, (n-2) – число ступенів вільності відповідно чисельника та знаменника залежності.

Під терміном «ступінь вільності» (ступень свободи) в економетрії розуміють число, яке показує, скільки незалежних елементів інформації із змінних потрібно для розрахунку суми квадратів, що розглядається. В кореляційному аналізі існує рівняння, яке пов’язує відхилення загальної суми квадратів із залишковою сумою квадратів та сумою квадратів, що пояснює регресію: , де - загальна сума квадратів відхилень, - залишкова сума квадратів відхилень, - регресійна сума квадратів відхилень.

Кожна із зазначених сум пов’язана з ступенями вільності: для загальної суми квадратів потрібно (n-1) незалежних чисел, тобто ступенів вільності; для залишкової суми квадратів - (n-m) ступенів вільності; для регресійної суми квадратів - (m-1) ступенів вільності.

За статистичними таблицями F-розподілу Фішера із ступенями вільності 1, (n-2) і рівнем довіри (1-α) вибирається F_табл . Можлива помилка (рівень значущості) α може прийматися 0,05 або 0,01. Це означає, що у 5% або 1% випадків ми можемо помилитися, а у 95% або 99% випадків (рівень довіри) наші висновки будуть правильні. При умові F>F_табл побудована регресійна модель відповідає реальній дійсності.

Контрольні питання

1.В чому полягає суть регресійного аналізу.

2.В чому полягає суть кореляційного аналізу.

3.Назвіть вимоги до використання кореляційно – регресійного аналізу.

4.Рівняння лінійної однофакторної регресії та її складових.

5.Назвати метод оцінки параметрів лінійної однофакторної регресії.

6.Суть методу найменших квадратів.

7.Дайте означення кореляції.

8.Як можна виміряти силу кореляційного зв’язку?

9.Для чого використовується коефіцієнт детермінації?

10.Поясніть, для чого використовується критерій Фішера?