Конспект лекцій

2. Постановка загальної задачі лінійного програмування та приклади рішення задач.

Серед різних математичних моделей економічних процесі особливе місце займають лінійні оптимізаційні моделі. Математична модель загальної задачі лінійного програмуванню формулюється наступним чином: знайти сукупність значень n змінних x₁, x₂,….,x_n , які задовольняють системі обмежень:

A_1,1x₁ + A_1,1x₁ + … + A_1,1x₁ = b₁

A_2,1x₁ + A_2,1x₁ + … + A_2,1x₁ = b₂

…………………………………

A_m,1x₁ + A_m1x₁ + … + A_m,1x₁ = b_m

та умові невід’ємності, x₁ 0, x₂ 0, …, x_n 0, для яких лінійна функція мети

Z = c₁x₁ + c₁x₁ + … + c₁x₁

досягає екстремуму (мінімуму або максимуму).

Вектор (упорядкована послідовність чисел Х ( x₁, x₂,….,x_n ), координати якого задовольняють обмеженням та умові невід’ємності, має назву допустимого рішення. Допустиме рішення Х ( x₁, x₂,….,x_n ) для якої функція мети досягає екстремуму має назву оптимального рішення.

Знаходження оптимального плану (рішення) задачі лінійного програмування проводиться за допомогою симплекс-методу в одній з його форм відповідно до особливостей конкретної задачі, які можуть мати власну назву. В дійсному курсі математичного програмування розглядається симплексний метод в двох формах - без штучного базису та з штучним базисом, графічний метод (яку можна розглядати як графічна форма симплексного методу) транспортна задача та двоїсту задачу лінійного програмування яка є засобом поглибленого аналізу оптимального рішення, який знаходиться за допомогою методів, перерахованих вище.

Приклад рішення лінійного програмування задачі симплекс – методом

Умова:

Z = 9x₁ + 4x₂ + 1 x₃ (max)

1x₁ + 2x₂ + 1 x₃ 36

6x₁ + 1x₂ + 2x₂ 60

x_j 0

Приводимо систему обмежень до канонічного виду. Для цього в перше та друге обмеження вводяться доповнюючи змінні x₄ , та x₅. Задача прийме такий вигляд:

Z = 9x₁ + 4x₂ + 1 x₃ (max)

1x₁ + 2x₂ + 1 x₃ + 1 x₃ = 36

6x₁ + 1x₂ + 2x₂ + 1 x₃ = 60

x_j 0

Система обмежень має два одиничних вектори - а4 та а5 . Вони створюють базис.

Можемо записати симплексну таблицю і знайти оптимальне рішення.

Базис	Сi базис	План А0	9	4	1	0	0
			А1	А2	А3	А4	А5
А4	0	36	1	2	1	1	0	36/1
А5	0	60	6	1	2	0	1	60/6
Zj - Cj		0	-9	-4	-1	0	0
А4	0	156/6	0	11/6	4/6	1	-1/6	156/11
А1	9	10	1	1/6	2/6	0	1/6	54
Zj - Cj		90	0	-15/6	2	0	9/6
А2	4	156/11	0	1	4/11	6/11	-1/11
А1	9	46/11	1	0	3/11	-1/11	2/11
Zj - Cj		1040/11	0	0	32/11	15/11	14/11

Оскільки всі Z_j - C_j 0 ми знайшли оптимальний план, який надає мінімального значення цільовій функції. Оптимальній план має вигляд:

Х_опт( х₁ = 46/11,.х₂ = 156/11,.х₃ = 0,.х₄ = 0,.х₅ = 0.), Z_min= 1040/11